§2. Корреляционный анализ данных

Графическое представление корреляционной зависимости. Для графического представления корреляционной связи можно использовать прямоугольную систему координат с осями, которые соответствуют обеим переменным. Каждая пара значений маркируется при помощи определенного символа. Такой график называется диаграммой рассеяния. Она строится для переменных, которые как минимум относятся к интервальной шкале.

Существует 4 вида диаграмм:

-Простая диаграмма

-Матричная диаграмма

-Наложенная диаграмма

-3-D диаграмма

Мы воспользуемся простой диаграммой рассеивания

Рис.5.Простая диаграмма рассеяния.

По полученной простой диаграмме рассеяния можно сделать вывод, что между переменными доходы населения и студентов получившие высшее образование существует положительная корреляционная зависимость (чем больше значение одной переменная, тем больше значение второй). По приближенности друг к другу точек можно судить о степени этой связи. Количественно ее можно оценить с помощью коэффициента корреляции.

Коэффициент корреляции Пирсона. Так как переменные измерены в интервальной шкале, то для расчета корреляционной зависимости используем коэффициент корреляции Пирсона. Коэффициент корреляции Пирсона также носит название линейного корреляционного коэффициента и рассчитывается по следующей формуле:

где и - значения двух переменных, и - их средние значения, и - стандартные отклонения, n – количество пар значений (объем выборки).

Вычислим коэффициент корреляции Пирсона в пакете SPSS

Рис.6. Расчет коэффициента корреляции Пирсона.

Полученные результаты содержат: корреляционный коэффициент Пирсона r, количество использованных пар значений переменных (N=11) и вероятность ошибки р, соответствующая предположению о ненулевой корреляции. В приведенном примере существует сильная корреляция (r=0,822), поэтому все коэффициенты являются сверхзначимыми (p<0,002).

§3. Регрессионный анализ

Если расчёт корреляции характеризует силу связи между переменными, то регрессионный анализ служит для определения вида этой связи и дает возможность для прогнозирования значения одной (зависимой) переменной, отталкиваясь от значения другой независимой переменной [10].

Целью регрессионного анализа является подбор наиболее подходящей под данный вид связи линии регрессии. Можно выбрать одну из следующих различных моделей, которым соответствуют формулы (Табл.1):

Таблица 1.

Модель	Формула
Линейная Логарифмическая Обратная Квадратичная Кубическая Степенная Показательная (комбинированная) Логистическая Экспоненциальная

С помощью регрессионного анализа мы можем определить вид связи, а также выразить ее с помощью уравнения регрессии.

Сначала исследуем зависимость между количеством студентов, получивших высшее образование, и денежных доходов населения.

Independent: VISHEE

Upper

Dependent Mth Rsq d.f. F Sigf bound b0 b1 b2 b3

DOHODI LIN ,676 9 18,81 ,002 -11025 10,1096

DOHODI LOG ,691 9 20,12 ,002 -114692 16263,9

DOHODI INV ,698 9 20,76 ,001 21432,7 -3,E+07

DOHODI QUA ,705 8 9,56 ,008 -35045 40,3952 -,0094

9 DOHODI CUB ,707 8 9,64 ,007 -27426 25,6597 -2,E-06

DOHODI COM ,712 9 22,29 ,001 78,2507 1,0025

DOHODI POW ,736 9 25,13 ,001 4,8E-10 4,0482

DOHODI S ,751 9 27,21 ,001 12,4365 -6399,2

DOHODI GRO ,712 9 22,29 ,001 4,3599 ,0025

DOHODI EXP ,712 9 22,29 ,001 78,2507 ,0025

DOHODI LGS ,712 9 22,29 ,001 , ,0128 ,9975

Notes:

9 Tolerance limits reached; some dependent variables were not entered.

Рис.7. Подбор линии регрессии для доходов населении и выпускников ВУЗов

На графике изображены различные виды линий регрессии для связи студентов которые получили высшее образование и уровнем дохода населения. Необходимо определить, какая из них наиболее точно описывает вид связи между переменными. Качество подобранной линии регрессии оценивается с помощью коэффициента детерминации (R-квадрат). Эта величина характеризует степень соответствия между регрессионной моделью и исходными данными. Мера определенности всегда лежит в диапазоне от 0 до 1. Для каждой линии регрессии он выводится в столбце Rsq. По максимальному значению коэффициента детерминации определим вид нашего уравнения.

R-квадрат максимальный равен 0,751 и соответствует показательной (комбинированной) виду связи и уравнению . Коэффициенты и выведены в соответствующей строке и равны 12,4365 и-6399,2.

Уравнение регрессии имеет вид:

Доходы населения = 12,4365*6399,2 ^{количество выпускников высших учебных заведений.}