Поживність та вартість кормів

Корм	Вміст поживних речовин в 1 кг корму, %		Вартість 1 кг корму, у. о.
	білку	клітковини
Зерно	10	2	0,40
Соєві боби	50	8	0,90

Готова кормова суміш має містити не менше як 20 % білка і не більш як 5 % клітковини.

Визначити масу кожного з двох видів кормів, що утворюють кормову суміш мінімальної вартості, водночас задовольняючи вимоги до загальної маси кормової суміші та її поживності.

Побудова економіко-математичної моделі. Нехай х₁ — маса зерна, а х₂ — соєвих бобів (в кг) у готовій кормовій суміші.

Загальна кількість суміші х₁ + х₂ має становити понад 500 кг, тобто

х₁ + х₂ ≥ 500.

Розглянемо обмеження щодо поживності кормової суміші.

Суміш має містити не менш як 20 % білка:

10х₁ + 50х₂ ≥ 20 (х₁ + х₂),

а також не більше як 5 % клітковини:

2х₁ + 8х₂ ≤ 5 (х₁ + х₂).

Загалом математична модель задачі оптимізації кормового раціону має такий вигляд:

min Z = 0,40х₁ + 0,90х₂ (2.26)

за умов:

(2.30)

Розв’язання. Графічну інтерпретацію задачі подано на рис. 2.15. Множина допустимих її розв’язків необмежена. Для вектора = (0,4; 0,9) можна змінити масштаб, наприклад, = (200; 450). Найменшого значення цільова функція Z досягає в точці А, що лежить на перетині граничних прямих, які відповідають обмеженням (2.27) та (2.28). Визначимо її координати:

Отже, Х^* = (375; 125); min Z = 0,4 · 375 + 0,9 · 125 = 262,5.

З

Рис. 2.15

гідно з відшуканим оптимальним планом задачі для того, щоб отримати 500 кг кормової суміші мінімальної вартості (262,50 у. о.), потрібно взяти 375 кг зерна та 125 кг соєвих бобів. За такого співвідношення компонентів кормової суміші вимоги до її поживності виконуватимуться:

0,10 · 375 + 0,50 · 125 = 100 кг білка, що становить рівно 20 % загальної маси суміші;

0,02 · 375 + 0,08 · 125 = 17,5 кг клітковини в кормовій суміші, що становить 3,5% її маси і не перевищує 5%.

Ф ірма виготовляє з одного виду сировини два продукти А та В, що продаються відповідно за 8 та 15 копійок за упаковку. Ринок збуту для кожного з них практично необмежений. Сировина для продукту А обробляється верстатом 1, а для продукту В — верстатом 2. Потім обидва продукти упаковуються на фабриці. Схему виробництва продуктів А та В зображено на рис. 2.16.

Рис. 2.16. Схема виготовлення продуктів

Ціна 1 кг сировини — 6 копійок. Верстат 1 обробляє за годину 5 т сировини, а верстат 2—4 т сировини із втратами, що становлять відповідно 10 і 20%. Верстат 1 може працювати 6 год на день, причому його використання коштує 288 грн/год; верстат 2—5 год на день, що коштує 336 грн/год.

Маса продукту А в одній упаковці дорівнює 1/4 кг, а продукту В — 1/3 кг. Фабрика може працювати 10 год на день, щогодини упаковуючи 12 000 одиниць продукту А або 8000 оди­ниць продукту В. Вартість її роботи протягом 1 год становить 360 грн.

Необхідно відшукати такі значення х₁ та х₂ обсягів використання сировини для виготовлення продуктів А та В (у тоннах), які забезпечують найбільший щоденний прибуток фірми.

Побудова економіко-математичної моделі. Нехай х₁ та х₂ — відповідно обсяги сировини, використовувані для виготовлення продукту А та В за один день, т.

Запишемо обмеження задачі. Згідно з умовою обмеженими ресурсами є тривалість використання верстатів 1 і 2, а також тривалість роботи фабрики з упакування продуктів А та В.

1. Обмеження на використання верстата 1.

Економічний зміст цього обмеження такий: фактична тривалість використання верстата 1 з обробки сировини для виготовлення продукту А має не перевищувати 6 год, тобто:

Математично це запишеться так:

х₁ / 5 ≤ 6, або х₁ ≤ 30.

2. Обмеження щодо використання верстата 2 виразимо аналогічно:

х₂ / 4 ≤ 5, або х₂ ≤ 20.

3. Обмеження щодо тривалості роботи фабрики з упакування продуктів А та В.

Економічний зміст цього обмеження такий: фактична кількість часу, витраченого на упакування продуктів А та В, має не перевищувати 10 год на день:

Математично це запишеться так:

або:

0,3х₁ + 0,3х₂ ≤ 10,

3х₁ + 3х₂ ≤ 100.

Побудуємо цільову функцію задачі. Прибуток фірми дорівнює різниці між доходом від реалізації виготовленої продукції та витратами на її виробництво.

1. Дохід від виробництва продуктів А та В визначається так:

або

.

Загальний дохід дорівнює 288х₁ + 360х₂.

2. Витрати на сировину визначаємо як загальну кількість сировини в тоннах, використовуваної для виробництва продуктів А та В, помножену на вартість 1 т сировини у гривнях:

60 (х₁ + х₂) = 60х₁ + 60х₂ .

3. Витрати, пов’язані з використанням верстатів 1 і 2, визначаємо множенням фактичної тривалості роботи верстата з обробки сировини на вартість 1 год роботи відповідного верстата:

.

4. Витрати, пов’язані з упакуванням продуктів А та В, дорівнюють добутку фактичної тривалості роботи фабрики (0,3х₁ + + 0,3х₂) на вартість 1 год її роботи, яка становить 360 грн:

360 (0,3х₁ + 0,3х₂) = 108х₁ + 108х₂.

Беручи до уваги всі складові цільової функції, можна записати математичний вираз прибутку фірми за день:

Z = (288х₁ + 360х₂) – (60х₁ + 60х₂) – (288/5х₁ + 84х₂) – (108х₁ + + 108х₂) = 12/5 · (26х₁ + 45х₂).

Отже, маємо такий остаточний запис економіко-математичної моделі:

max Z = 12/5 · (26х₁ + 45х₂) (2.31)

за умов:

x₁≥0; x₂≥0 (2.35)

Н

Рис. 2.17

езважаючи на порівняно складний процес моделювання, математично ця задача дуже проста й легко розв’язується графічно.

Розв’язання. Графічне розв’язан­ня задачі ілюструє рис. 2.17.

Областю допустимих планів, що утворюється системою обмежень задачі, є багатокутник АВСDО. Най­більшого значення цільова функція досягає у вершині В. Координати цієї точки визначаються розв’язан­ням системи рівнянь:

Оптимальний план задачі: Х^* = (40/3; 20); max Z = 2992 грн.

Отже, для того, щоб отримати найбільший денний прибуток 2992 грн, фірма має обробляти 40/3 тис. кг сировини, виробляючи продукт А, і 20 тис. кг — виробляючи продукт В. За такого оптимального плану випуску продукції верстат 2 працюватиме 20/4 = 5 год на день, тобто з повним навантаженням, а верстат 1 працюватиме лише 40/15 = 2 год 20 хв щодня.

2.8. Симплексний метод розв’язування задач лінійного програмування

Графічний метод для визначення оптимального плану задач лінійного програмування доцільно застосовувати лише для задач із двома змінними. За більшої кількості змінних необхідно застосовувати інший метод. З властивостей розв’язків задачі лінійного програмування відомо: оптимальний розв’язок задачі має знаходитись в одній з кутових точок багатогранника допустимих розв’язків. Тому найпростіший спосіб відшукання оптимального плану потребує перебору всіх кутових точок (допустимих планів задачі, які ще називають опорними). Порівняння вершин багатогранника можна здійснювати тільки після відшукання якоїсь однієї з них, тобто знайшовши початковий опорний план. Кожний опорний план визначається системою m лінійно незалежних векторів, які містяться в системі обмежень задачі з n векторів . Отже, загальна кількість опорних планів визначається кількістю комбінацій . Задачі, що описують реальні економічні процеси, мають велику розмірність, і простий перебір всіх опорних планів таких задач є дуже складним, навіть за умови застосування сучасних ЕОМ. Тому необхідне використання методу, який уможливлював би скорочення кількості обчислень. 1949 року такий метод був запропонований американським вченим Дж. Данцігом — так званий симплексний метод, або симплекс-метод.

Ідея цього методу полягає в здійсненні спрямованого перебору допустимих планів у такий спосіб, що на кожному кроці здійснюється перехід від одного опорного плану до наступного, який за значенням цільової функції був би хоча б не гіршим за поперед­ній. Значення функціонала при переході змінюється в потрібному напрямку: збільшується (для задачі на максимум) чи зменшується (для задачі на мінімум).

Процес розв’язання задачі симплекс-методом має ітераційний характер: однотипні обчислювальні процедури (ітерації) повторюються у певній послідовності доти, доки не буде отримано оптимальний план задачі або з’ясовано, що його не існує.

Отже, симплекс-метод — це ітераційна обчислювальна процедура, яка дає змогу, починаючи з певного опорного плану, за скінченну кількість кроків отримати оптимальний план задачі лінійного програмування.

2.8.1. Початковий опорний план

Розглянемо задачу лінійного програмування, записану в канонічній формі:

maxF=c₁x₁+ c₂x₂+… +c_nx_n

.

Не порушуючи загальності, допустимо, що система рівнянь містить перші m одиничних векторів. Отримаємо:

maxF=c₁x₁+ c₂x₂+… +c_nx_n (2.36)

(2.37)

(2.38)

Система обмежень (2.37) у векторній формі матиме вигляд:

, (2.39)

де

, ,..., ,

, …, , ,

— лінійно незалежні одиничні вектори m-вимірного простору, що утворюють одиничну матрицю і станов­лять базис цього простору. Тому в розкладі (2.39) базисними змінними будуть , а інші змінні — вільні. Прирівняємо всі вільні змінні до нуля, тобто . Оскільки , а вектори — одиничні, то отримаємо один із розв’язків системи обмежень (2.37):

(2.40)

тобто допустимий план.

Такому плану відповідає розклад

(2.41)

де — лінійно незалежні вектори і за властивістю 3 розв’язків задачі лінійного програмування (§ 2.5) план є кутовою точкою багатогранника розв’язків, а отже, може бути почат­ковим опорним планом.