Перша симплексна таблиця для розв’язку задач лінійного програмування
і |
Базис |
Сбаз |
План |
c1 |
c2 |
… |
cl |
… |
cm |
cm + 1 |
… |
cj |
… |
ck |
… |
cn |
θі |
x1 |
x2 |
… |
xl |
… |
xm |
xm + 1 |
… |
xj |
… |
xk |
… |
xn |
|||||
1 |
x1 |
c1 |
b1 |
1 |
0 |
… |
0 |
… |
0 |
a1, m +1 |
… |
a1j |
… |
a1k |
… |
a1n |
θ1 |
|
x2 |
c2 |
b2 |
0 |
1 |
… |
0 |
… |
0 |
a2, m + 1 |
… |
a2j |
… |
a2k |
… |
a2n |
θ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xl |
cl |
bl |
0 |
0 |
… |
1 |
… |
0 |
al, m + 1 |
… |
alj |
… |
alk |
… |
aln |
θl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
xm |
cm |
bm |
0 |
0 |
… |
0 |
… |
1 |
am, m + 1 |
… |
amj |
… |
amk |
… |
amn |
θm |
m + 1 |
Fj – cj ≥ 0 |
F(X0) |
0 |
0 |
… |
0 |
… |
0 |
Δm + 1 |
… |
Δj |
… |
Δk |
… |
Δn |
|
|
2
l
Якщо
хоча б для однієї від’ємної оцінки
всі коефіцієнти розкладу
відповідного вектора недодатні, то це
означає, що функціонал є необмеженим
на багатограннику розв’язків, тобто
багатогранник у даному разі являє собою
необмежену область і розв’язком задачі
є
.
Нехай
,
тобто мінімальне значення досягається
для k-го
вектора
.
Тоді до базису включається вектор
.
Відповідний стовпчик симплексної
таблиці називають напрямним.
Для
того, щоб вибрати вектор, який необхідно
вивести з базису (згідно з процедурою
переходу від одного опорного плану
задачі до іншого — § 2.7.2),
розраховують останній стовпчик табл. 2.6
— значення
.
.
З
розрахованих значень необхідно вибрати
найменше
.
Тоді з базису виключають i-ий
вектор, якому відповідає
.
Допустимо,
що
відповідає вектору, що знаходиться
в l-му
рядку табл. 2.6. Відповідний рядок
симплексної таблиці називають напрямним.
Перетином напрямного стовпчика та напрямного рядка визначається елемент симплексної таблиці alk, який називають розв’язувальним елементом. За допомогою елемента alk і методу Жордана—Гаусса розраховують нову симплексну таблицю, що визначатиме наступний опорний план задачі.
Для визначення нового опорного плану необхідно всі вектори розкласти за векторами нового базису. Вектор Аk, який необхідно вводити до базису, в розкладі за початковим базисом має вигляд:
(2.54)
Вектор Аl виходить з базису, і його розклад за новим базисом отримаємо з виразу (2.54):
. (2.55)
Розклад вектора А0 за початковим базисом має вигляд:
. (2.56)
Для запису розкладу вектора в новому базисі підставимо вираз (2.55) у рівняння (2.56), маємо:
.
Отже, значення компонент наступного опорного плану розраховуються за формулами:
(2.57)
Розклад за початковим базисом будь-якого з векторів має вигляд:
. (2.58)
Розклад за новим базисом отримаємо підстановкою (2.55) у (2.58):
.
Новий
план:
,
де
(2.59)
Формули (2.57) та (2.59) є формулами повних виключень Жордана—Гаусса.
Отже,
щоб отримати коефіцієнти розкладу
векторів
за векторами нового базису (перехід до
наступного опорного плану та створення
нової симплексної табл. 2.7), необхідно:
розділити всі елементи напрямного рядка на розв’язувальний елемент;
розрахувати всі інші елементи за формулами повних виключень Жордана—Гаусса (правило прямокутника).
Потім необхідно здійснити перевірку нових значень оцінкового рядка. Якщо всі Fj – сj 0, то план Х1 — оптимальний, інакше переходять до відшукання наступного опорного плану. Процес продовжують до отримання оптимального плану, чи встановлення факту відсутності розв’язку задачі.
Якщо в оцінковому рядку останньої симплексної таблиці оцінка Fj – сj = 0 відповідає вільній (небазисній) змінній, то це означає, що задача лінійного програмування має альтернативний оптимальний план. Отримати його можна, вибираючи розв’язувальний елемент у зазначеному стовпчику таблиці та здійснивши один крок (одну ітерацію) симплекс-методом. У результаті отримаємо новий опорний план, якому відповідає те саме значення функціонала, що і для попереднього плану, тобто функціонал досягає максимального значення в двох точках багатогранника розв’язків, а отже, за властивістю 2 (§ 2.5) розв’язків задачі лінійного програмування така задача має нескінченну множину оптимальних планів.
Розв’язання
задачі лінійного програмування на
відшукання мінімального значення
функціонала відрізняється лише умовою
оптимальності опорного плану. До базису
включають вектор, для якого
,
де максимум знаходять для тих j,
яким відповідають
.
Всі інші процедури симплексного методу
здійснюються аналогічно, як у задачі
лінійного програмування на відшукання
максимального значення функціонала.
Таблиця 2.7