Особенности математических моделей процессов в континуальных системах

Разработка математической модели рассматриваемого технического объекта сводится, как правило, к поиску компромисса в противоречивой ситуации:

математическая модель должна быть адекватна объекту и его расчетной схеме с точки зрения полноты и точности количественного описания их свойств, важных для целей проводимого вычислительного эксперимента;

сложность и громоздкость математической модели должны быть ограничены разумными пределами, позволяющими в итоге вычислительного эксперимента получить полезные результаты при обозримых затратах вычислительных ресурсов.

Теоретической основой построения математических моделей процессов в континуальных системах являются механика и электродинамика сплошных сред. В общем случае такие модели должны описывать поведение системы на трех уровнях: взаимодействие системы в целом с внешней средой, взаимодействие между микрообъемами системы и свойства отдельно взятого микрообъема. При рассмотрении в обратном порядке эти уровни соответствуют установлению уравнения состояния среды в микрообъеме, использованию законов сохранения и переноса физических субстанций (массы, импульса, момента импульса, энергии, электрического заряда) для описания взаимодействия микрообъемов и формулировки граничных условий, описывающих взаимодействие системы с внешней средой. (( В такие модели входят характерные для задач математической физики уравнения с частными производными и/или интегральные уравнения. Эти модели могут содержать также интегральные функционалы от допустимых распределений параметров рассматриваемой континуальной системы, достигающие стационарных значений на искомых распределениях, что отвечает формулировке соответствующей задачи на основе некоторого вариационного принципа.))

Методы анализа математических моделей.

Если математическая модель континуальной системы содержит дифференциальные уравнения с частными производными, то ее количественный анализ, как правило, связан с использованием метода конечных разностей (МКР).

МКР базируется на конечно – разностной аппроксимации производных от искомых распределений параметров и сведении исходной математической модели к ее дискретному аналогу, содержащему систему конечных уравнений относительно неизвестных значений параметров в узлах пространственно – временной сетки. Решение такой системы, представляющее достаточно сложную алгоритмическую и вычислительную проблему, дает дискретный набор узловых значений, по которым при необходимости непрерывные распределения параметров можно построить с помощью интерполяции.

От основных недостатков МКР, связанных с дискретным характером получаемых результатов и грубым представлением пространственной сеткой узлов геометрии областей сложной конфигурации, свободен метод конечных элементов (МКЭ). Он основан на представлении области, в которой протекает рассматриваемый процесс, системой связанных между собой в узлах конечных элементов, в пределах каждого из которых задают непрерывные распределения параметров, выраженные через неизвестные узловые значения параметров и их пространственных производных. Гибкость формы конечных элементов позволяет достаточно точно представить конфигурацию области, однако для реализации МКЭ необходимо располагать математической моделью рассматриваемого процесса в интегральном виде.

Одним из вариантов интегральной формы математической модели изучаемого процесса является вариационная формулировка соответствующей задачи, содержащая функционал, достигающий на искомом распределении параметров экстремального значения. В этом случае из условия экстремума функционала можно получить систему конечных уравнений (обычно систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) благодаря линеаризации и использованию процедуры последовательных приближений) относительно неизвестных узловых значений параметров и затем использовать для нахождения этих значений численные методы решения таких систем.

Существенным преимуществом математической модели, содержащей экстремальный функционал, является возможность не только широкого выбора алгоритма неизвестных узловых значений параметров, но и оценки погрешности приближенного решения и его сходимости к искомому истинному значению. Если на истинном решении функционал достигает минимального значения, то из двух приближенных решений предпочтение следует отдать тому из них, которому отвечает меньшее значение функционала. В этом случае числовое значение функционала приобретает самостоятельную информационную ценность, выполняя роль обобщенного интегрального критерия для сравнительной оценки двух и более приближенных решений, который дает объективные основания для выбора наилучшего решения.

Для количественного анализа моделей процессов в континуальных системах перспективен метод граничных элементов (МГЭ) или его комбинация с МКЭ. Для применения МГЭ модель необходимо предварительно привести к форме, содержащей граничные интегральные уравнения с неизвестными распределениями искомых параметров на границе области, в которой протекает рассматриваемый процесс. Такая модификация математической модели позволяет понизить размерность задачи и тем самым дает возможность сэкономить вычислительные ресурсы. Однако в случае нелинейных процессов неизвестные величины обычно входят не только в интегралы по границе области, но и в интеграл по самой области. В таком случае МГЭ целесообразно сочетать с процедурой последовательных приближений, задаваясь ожидаемым распределением искомых параметров в области и последовательно его уточняя по найденным распределениям этих параметров на ее границе.

При моделировании процессов в континуальных системах численная реализация МКР, МКЭ и МГЭ обычно в конечном счете связана с решением достаточно больших СЛАУ. В случаях МКР и МКЭ матрицы СЛАУ сильно разрежены. Это позволяет экономить память ЭВМ для хранения таких матриц и повысить эффективное быстродействие за счет меньших объемов передаваемой информации между оперативной и внешней памятью, а также путем распараллеливания некоторых из составляющих алгоритм решения СЛАУ вычислительных процедур на многопроцессорных ЭВМ. При прочих равных условиях порядок СЛАУ при численной реализации МГЭ существенно ниже, чем для МКР или МКЭ, но матрица такой СЛАУ будет полностью заполненной. Наряду с затратами дополнительных вычислительных ресурсов эта особенность МГЭ имеет и положительную сторону при моделировании нелинейных процессов: влияние изменения значений искомых величин распространяется на каждой итерации сразу на всю область, что при условии сходимости последовательных приближений сокращает общее число итераций.