Глава 1
Понятие функции двух и более переменных
Основные понятия.
Многие явления, происходящие в природе, экономике, общественной жизни нельзя описать с помощью функции одной переменной.
Определение.
Пусть имеется n переменных величин, и каждому набору из значений (x1, x2, …, xn) из некоторого множества Х соответствует одно вполне определенное значение переменной величины z. Тогда говорят, что задана функция нескольких переменных z = f(x1, …, xn).
Переменные x1, …, xn называют независимыми переменными или аргументами, z – зависимой переменной, а символ f означает закон соответствия. Множество Х называется областью определения функции. Очевидно, это подмножество n – мерного пространства.
Пример:
Найти область определения функции:
.
Решение.
Имеем x1 ≠ 0, x2 ≠ 0, т.е. область определения – это плоскость О x1 x2 за исключением координатных прямых О x1 и О x2.
Рассмотрим некоторые примеры функций нескольких переменных.
Функция
,
где
,
b – постоянные числа,
называется линейной. Её можно рассматривать
как сумму n линейных
функций от переменных x1
, . . . ,xn.Функция
(
– постоянные числа) называется
квадратической. В отличие от предыдущего
примера квадратическая функция не
является сепарабельной, т.е. не
раскладывается в сумму функций одной
переменной.Многомерный аналог функции полезности (экономическая модель для определения предпочтений экономических субъектов) – функция
,
выражающая полезность от n
приобретенных товаров. Чаще всего
встречаются следующие ее виды:
а) 
,
где
– логарифмическая функция;
б) 
.
Здесь
Такая
функция называется функцией постоянной
эластичности.
Также на случай n переменных обобщается понятие производственной функции, выражающей результат производственной деятельности от обусловивших его факторов x1, x2 , …, xn. Приведем здесь наиболее часто встречающиеся виды производственных функций (z – величина общественного продукта, x1 – затраты труда, x2 – объем производственных фондов), полагая для простоты n=2:
а) функция Кобба-Дугласа
б) функция с постоянной эластичностью замещения:
Функцию
двух переменных будем обозначать в
дальнейшем
Тогда ее область определения Х есть
подмножество координатной плоскости
Оху.
Графиком
функции двух переменных
называется множество точек трехмерного
пространства (x, y,
z), аппликата z
которых связана с абсциссой х и ординатой
у функциональным соотношением
График
функции двух переменных
вообще говоря, представляет собой
некоторую поверхность в трехмерном
пространстве.1
Для построения графика функции
полезно рассматривать функции одной
переменной
и
,
представляющие сечения графика
плоскостями, параллельными координатами
плоскостями Охz
и Оуz, т.е. плоскостями
у = у0 и х = х0.
Пример:
Построить
график функции
Решение.
Сечения
поверхности
плоскостями, параллельными координатным
плоскостям Охz и
Оуz, представляют
параболы (например, при х = 0:
,
при у = 1:
и т.д.).
В
сечении поверхности координатной
плоскостью Оху, т.е. плоскостью z
= 0, получается окружность
График функции представляет поверхность,
называемую параболоидом (рис. 1.2).
Как видно, график функции двух переменных – значительно более сложный объект, чем график функции одной переменной. Как правило, построение поверхности оказывается довольно трудной задачей. В то же время поверхность в пространстве обладает гораздо меньшей наглядностью, чем линия на плоскости.
Поэтому в случае двух переменных для изучения поведения функции желательно использовать другие, более наглядные инструменты. Важнейшим из них являются линии уровня.
Определение.
Линией уровня функции двух переменных называется множество точек на плоскости, таких, что во всех этих точках значение функции одно и то же и равно С. Число С в этом случае называется уровнем.
На рис. 1.3 изображены линии уровня, соответствующие значениям С = 1 и С = 2. Как видно, линия уровня L1 состоит из двух непересекающихся кривых. Линия L2 – самопересекающаяся кривая.
Многие примеры линий уровня хорошо известны и привычны. Например, параллели и меридианы на глобусе – это линии уровня функций широты и долготы. Синоптики публикуют карты с изображением изотерм – линий уровня температуры.