Заключение

Помимо теоретического значения экстремумов функций нескольких переменных, в моей курсовой работе представлены способы их применения в различных областях науки: в физике, математике и экономике. Так, например, в оптике, одном из разделов физики, экстремальный принцип был сформулирован, при попытке осмысления законов преломления света. В алгебре и анализе, максимумы и минимумы используются, например, для рассмотрения и доказательства неравенства между средним геометрическим и средним арифметическим. Что касается геометрии, мной были приведены примеры решения геометрических задач на максимум и минимум. Также я изучила метод множителей Лагранжа, который применяется:

• при решении задач нелинейного программирования, возникающих во многих областях (например, в экономике);

• основной метод решения задачи об оптимизации качества кодирования аудио и видео данных при заданном среднем битрейте (оптимизация искажений).

Кроме того в курсовой работе были рассмотрены методы:

• линейного программирования, применяющиеся для решения экономических задач (например, оптимизации прибыли);

• нелинейного программирования, которое используется при прогнозировании промышленного производства, управлении товарными ресурсами, планировании обслуживания и ремонта оборудования и т. д.;

• динамического программирования, применяющегося, в свою очередь, в задачах принятия решений через фиксированные промежутки времени (например, в задачах управления запасами).

Во все времена экстремальные задачи привлекали внимание многих ученых. Благодаря попыткам решить ту или иную задачу на максимум и минимум появлялись и получали развитие новые теории или целые направления математики. Максимумы и минимумы постоянно возникают в инженерных расчётах, в архитектуре, экономике... Эти задачи очень интересны в решении, а также находят применение в различных областях науки.

В заключение я хотела бы сказать, что знание этой темы может пригодиться не только людям, специально занимающимся этой наукой, но и ненаучным работникам, т.к. в жизни часто приходится сталкиваться с решением подобного рода задач.

Приложение 1

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА [источник]

Издавна многие великие математики занимались изучением задач на нахождение максимума и минимума. Долгое время в вопросах отыскания экстремумов не было единых подходов.

Еще до создания дифференциального исчисления Пьер Ферма (1601–1665) в трактате «Метод отыскания наибольших и наименьших значений» (1638, опубликован в 1679 г.) сформулировал первый общий принцип отыскания экстремума, который на современном языке звучит так: «В точке экстремума линейная часть приращения функции равна нулю».

В 1638 году он сообщил в письме Декарту, что решил задачу определения экстремальных значений функции f(x). Ферма нашел это условие и аналогичное (f(y)-f(x))/(y-x)=0 при y=x ещё алгебраическими путями.

К сожалению, Ферма не стремился публиковать свои работы, кроме того, пользовался труднодоступными для усвоения алгебраическими средствами Виета с его громоздкой символикой. Видимо, поэтому он не сделал последнего, уже небольшого, шага на пути к созданию дифференциального исчисления. Накопление фактов дифференциального исчисления происходило быстро. В «Дифференциальном исчислении» (1755) Эйлера это исчисление появляется уже в весьма полном виде.

Справедливо, что необходимое условие экстремума, выраженное в терминах дифференциального исчисления его создателями Исааком Ньютоном (1643–1727) и Готфридом Вильгельмом Лейбницем (1646–1716) носит имя Ферма. Ферма рассматривал также случаи, когда функция задана неявно.

Дальнейшее развитие теория экстремумов получила в трудах братьев Бернулли — Якоба (1654–1705) и Иоганна (1667–1748) и великого Леонарда Эйлера (1707–1783). Эйлер писал: «В мире не происходит ничего, в чем не был бы виден смысл какого–нибудь максимума или минимума».

Решая задачу об отыскании точек условного экстремума, Жозеф Луи Лагранж (1736–1813) разработал метод неопределенных множителей, названный его именем.

Таким образом, правила определения экстремумов функции одной переменной y=f(x) были даны Маклореном. Эйлер разработал этот вопрос для функции двух переменных. Лагранж показал (1789), как отличать вид условного экстремума для функции многих переменных. В трудах Эйлера и Лагранжа исчисление вариаций приобрело вид логически стройной математической теории. Главной задачей, решаемой средствами этого исчисления, являются отыскание экстремумов функционалов.

Тем не менее, только сравнительно недавно, в период возникновения и развития математического анализа появились новые способы исследования и решения задач на экстремум.

Возникшие новые методы решения были обусловлены потребностями некоторых областей практической жизни (экономики, техники, физики и т.д.), так как старые методы уже не соответствовали.

Так, например, те недавно появившиеся задачи, которые возникли в процессе развития техники (космической и др.), не поддавались решению при помощи средств вариационного исчисления.

В связи с необходимостью решения таких задач и появилась новая теория, которая получила название теории оптимального управления.

В пятидесятые-шестидесятые годы двадцатого века советский математик Лев Семенович Понтрягин со своими учениками разработал основной метод в теории оптимально управления. Благодаря созданию этого метода теория оптимального управления получила толчок к дальнейшим исследованиям.

1 Формально график можно определить и для n>2. В этом случае он называется гиперповерхностью в (n+1)-мерном пространстве. О таком графике можно говорить только абстрактно – изобразить его на рисунке не представляется возможным.