2. Уравнение полоской и сферической волн

 

Волновые процессы представляют собой общий класс явлений. Несмотря на бесконечное разнообразие физических процессов, вызывающих волны, образование волн происходит по одному общему типу. Возмущение, происшедшее в какой-нибудь точке в известный момент времени, проявляется спустя некоторое время на некотором расстоянии от начальной точки, т. е. передается с определенной скоростью. Рассмотрим самый простой пространственно одномерный случай: распространение возмущения вдоль оси ОХ. Тогда можно изобразить возмущение f как функцию координаты x и времени t, . Распространение возмущения со скоростью  вдоль направления ОХ изобразится той же функцией, в аргумент которой t и x входят в комбинации или в зависимости от направления распространения возмущения вдоль оси ОХ.

В этом случае волновое уравнение (2.5) имеет вид:

, (2.6)

а его общее решение выглядит

. (2.7)

Если в начальный момент времени t = 0 графически изобразить функции ₁(x) и ₂(x), то в последующие моменты времени эти функции будут смещаться вдоль оси ОХ со скоростью  как целое: ₁ – вправо, ₂ – влево.

Рассмотрим гармонические монохроматические волны, т. е. синусоидальные волны с одной циклической частотой  = 2.

В этом случае зависимость любой величины f от времени t в общем виде выглядит так:

 

,

 

где f₀ – значение рассматриваемой величины в точке с координатой x в начальный момент времени t = 0. Решение волнового уравнения (2.6), удовлетворяющее условию (2.7) и дающее гармоническую зависимость f от t, имеет вид:

. (2.8)

Выражением в формуле (2.8) определяется фаза волны (ее состояние в данный момент времени в данной точке пространства). В данный момент времени волновой фронт – геометрическое место точек, в которых фаза колебаний имеет одно и то же значение – описывается уравнением x = const. Это плоскость, нормальная к оси OX и перпендикулярная направлению распространения волны. Таким образом, волновой фронт распространяется вправо с фазовой скоростью . Так как волновой фронт является плоскостью, мы получили плоскую волну. Нам необходимо также выражение для плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении, характеризуемом постоянным единичным вектором . Так как уравнение плоскости, перпендикулярной вектору , имеет вид = const, уравнение плоской волны можно записать в виде:

. (2.9)

Введем волновой вектор , определив его как

. (2.10)

где – единичный вектор в направлении распространения волны (в направлении ). Тогда уравнение плоской волны можно записать в виде:

.

Волновой вектор связан с длиной волны  (расстоянием между двумя ближайшими точками волны, находящимися в одинаковой фазе, в данный момент времени), он всегда перпендикулярен фронту волны. Пусть фазы плоской волны (2.9) в точках r и r +  одинаковы. Тогда в любой момент времени должно соблюдаться равенство

.

 

Это возможно только, когда , т. е. .

Рассмотрим монохроматические плоские волны. В однородной изотропной непроводящей среде векторы напряженностей электрического и магнитного полей изменяются в соответствии с волновыми уравнениями (2.3) и (2.4) при соблюдении (2.10), когда . Тогда уравнениям (2.3) и (2.4) удовлетворяют выражения:

; (2.11)

. (2.12)

Уравнения (2.11) и (2.12) являются уравнениями плоской электромагнитной волны, записанными в комплексной форме. Вектор определяет направление распространения волны. Векторы и колеблются в плоскости, перпендикулярной направлению . Так как направление колебаний перпендикулярно направлению распространения волны, то электромагнитная волна в данных условиях является поперечно-поляризованной. Уравнения плоской электромагнитной волны можно записать также в следующем виде:

;

.

Результаты, полученные для монохроматических плоских волн, будут справедливы для любых плоских волн.

Если источник возмущения мал (точка) и скорость распространения возмущения во все стороны одинакова (изотропная среда), то фронт волны должен иметь вид сферической поверхности с центром в источнике. В таком случае волна называется сферической. Уравнение такой монохроматической сферической волны имеет вид:

,

где – амплитуда волны, f₀ – амплитуда на единичном расстоянии r от источника. Выражение это показывает, что амплитуда сферической волны уменьшается пропорционально расстоянию от источника.

Уравнения сферической монохроматической электромагнитной волны можно записать в следующем виде:

,

.

В комплексной форме эти уравнения принимают вид:

,

.

Сферическая волна соответствует источнику точечного размера, т. е. представляет абстракцию. Однако даже при источнике конечного размера фронт волны на достаточно большом расстоянии r будет сферической поверхностью с достаточным приближением.

В практической оптике для многих задач можно считать фронт сферическим, если расстояние r превосходит линейные размеры источника в десять раз или более.