8. Проверка случайности методом серий.

Для проверки случайности преобразуем получаемые при помощи ГПСЧ числа следующим образом:

В полученной последовательности выявляем серии. Серией называется отрезок выборки, состоящий из идущих подряд элементов одного типа. Число элементов серии называется ее длиной. Тип серии характеризуется значением элементов выборки .

Обозначим через и соответственно число серий типа 0 и 1 длиной i ; - общее число серий длины i; S – общее число серий в выборке, и - соответственно число элементов в выборке объемом .

При случайном чередовании элементов выборки вероятность появления общего числа серий определяется по формуле:

для четного числа серий и

для нечетного числа серий.

Выявляя вероятность при разных , можно построить теоретический закон распределения общего числа серий при известном объеме выборки. При увеличении объема выборки закон распределения общего числа серий асимптотически приближается к нормальному с характеристиками .

Вероятность появления общего числа серий вычисляется по формуле (*),

где нормированный закон нормального распределения. Формулой (*) можно воспользоваться при n>20. Задаваясь вероятностью  отклонения верной гипотезы по таблице нормированного нормального закона распределения (см. приложение) находят u_ и из формулы

получают минимально допустимое значение общего числа серий S_min=z_ , учитывая, что u_ при - величина отрицательная. Если в используемой выборке общее число серий окажется больше S_min , то гипотеза о случайности принимается. Рассмотренная проверка называется проверкой по количеству серий.

Можно сделать проверку и по максимальной длине серий. Для этого случая доказано, что для серий большой длины закон распределения и ( - число серий не менее К) при хорошо аппроксимируется законом распределения Пуассона (*), где .

На основании (*) получим вероятность появления хотя бы одной серии длиной не меньше К . (**)

Задаваясь, из (**) находят критическое значение длины серии . Если исследуемая выборка не содержит серий длиннее K при заданном уровне значимости , то гипотеза о случайности принимается.

9. Нахождение оценок параметров случайных выборок.

Значения M(x) и D(x) характерны для бесконечной последовательности чисел. Поэтому оценки математического ожидания и дисперсии , полученные на основе конечной последовательности чисел, будут отличаться от теоретических. По величине модуля разности и можно судить о принадлежности выборки к совокупности чисел с равномерным законом распределения.

Вычисляем оценки параметров распределения либо их точечные оценки :

где величина - середина -го интервала разбиения области реализации значений величины Х.

10. Контрольные вопросы.

1. Определение случайной величины и ее характеристик.

2. Равномерный закон распределения случайной величины.

3. Алгоритмы получения выборок ПСЧ, используемые в данной работе.

4. Алгоритм построения гистограммы функции плотности вероятности.

5. Нахождение оценок параметров случайной выборки.

6. Сущность проверки по критерию согласия .