2.3. Положительная и отрицательная части функции

Пусть функция f определена на некотором множестве . Опеделим на этом множестве две функции и : для любой точки х, принадлежащей Х,

(1)

Эти же функции и можно задать также с помощью равенств , или равенств

, (2)

Очевидно, и неотрицательны на Х. Из (2) легко следует, что на множестве Х справедливо равенство f(х) = (х) - (х) . Функции и будем называть по- ложительной и отрицательной частями или составляющими функции f соответственно. Отметим ряд свойств и .

1. |f(х)| = (х) + (х).

Это равенство вытекает непосредственно из (2).

2. Пусть g = - f ; тогда . ► Например:

max{ 0 , g(х)} = max{ 0 , -f(х)} ◄

3. Функция f ограничена на Х тогда и только тогда, когда на Х ограничены её составляющие и .

Справедливость этого утверждения очевидна ввиду свойства 1.

4. Функция f непрерывна в точке х₀ , х₀ Х, тогда и только тогда, когда в этой точке непрерывны составляющие и .

► Необходимость. Пусть f непрерывна в точке х₀ . Может представиться одна из следующих трёх возможностей: либо либо либо Рассмотрим первую возможность. Так как f непрерывна в точке х₀ , существует ε > 0 та- кое, что в любой точке х, принадлежащей пересечению множества Х с ε – окре- стностью . В силу определений (1) на указанном пересечении совпадает с f, а тождественно равна нулю; значит, обе эти функции непрерывны в точке х₀. В случае доказательство аналогично. Рассмотрим случай Из (1) следует: Так как 0 , то и , т.е. (см. свойство 1.) . Так как и неотрицательны, из последнего равенства сле- дует: и Следовательно, и непрерывны в точке х₀, ибо (х₀) = ( х₀) = 0.

Достаточность. Пусть и непрерывны в точке х₀ по множеству Х. Так как f(х) = (х) - (х), функция f непрерывна как разность непрерывных функций. ◄

5. Пусть f ограничена на множестве Х. Тогда

► Докажем первое равенство. Обозначим через Х совокупность тех точек мно- жества Х , в которых значения f неотрицательны . Возможны два случая: 1) Х - пустое множество и 2) Х не пусто.

В случае 1) на всем множестве Х имеем f(x) < 0 ; поэтому на Х составляющая тождественно равна нулю. а = - f. Отсюда: 0, , значит,

В случае 2) тождественно равна нулю на Х ; поэтому . На Х функ- ция совпадает с f, и

;

значит, .

Докажем второе равенство. Положим g = - f. Из утверждения а) леммы и свойства 2 следует: . В силу доказанного выше имеем: .Отсюда: , т.е., − . ◄

4. Интегральные суммы

Пусть Х= , a < b, - ограниченный промежуток, а - некоторый набор точек, x₀ = a< x₁ <x₂ < … <x_l-1 <x_l =b. Обозначим: Каждый из промежутков X_j может быть промежутком любого типа (открытым, полуоткрытым, замк- нутым ), однако, должно быть выполнено усло- вие = . Таким образом, каждая из внутренних для точек x_j , j = 1,2, …, l-1, принадлежит хотя бы одному из разде- ляемых ею промежутков X_j-1 и X_j ; если точка a или точка b принадлежит , то она является соответственно левым концом промежутка X₁ или правым концом X_l.

Совокупность промежутков , удовлетворяющую условию = , назовем дроблением промежутка и обозначим через τ: τ = . Мы будем также говорить, что дробление τ = образовано набором точек . Длину промежутка X_j обозначим через : = x_j - x_j-1.

Пусть на Х= определена функция f. На каждом из промежутков X_j, , выберем по точке ξ_j и составим сумму произведений:

. Эту сумму назовем интегральной суммой функции f по дроблению τ и обозначим через τ): S (f, τ) = . Величина этой суммы зависит как от дробления τ, так и от выбора точек

Пусть функция f ограничена на . Введем обозначения: τ) = ; τ)= . Суммы τ) и τ) назовем соответственно нижней и верхней интегральными суммами функции f по дроблению τ.

2.5. Геометрический смысл интегральных сумм неотрицательной

функции.

Пусть функция f неотрицательна на некотором промежутке Х = , , ограниченном или неограниченном. Обозначим через множество точек P(х,у) , координаты которых удовлетворяют условиям и :

. представляет собой плоскую фигуру, ограни- ченную отрезком оси абсцисс, отрезками прямых x = a и x = b и графиком функции y = f(x), см. рис . 3. На этом рисунке точка с является точ кой разрыва функции, и отрезок АВ прямой х = с также входит в состав границы фигуры . Фигуру назовем подграфиком функции f на промежутке Х = . В частности, если функция f тождественно на равна С, С ≥ 0, то подграфик - это прямоугольник, в основании которого лежит отрезок оси абсцисс, а высота равна С. Укажем на еще один частный случай: пусть промежуток Х содержит только одну точку а: Х = [a,a] , и f (а) ≥ 0; тогда подграфик есть отрезок прямой х = а, ограниченный точками А(а,0) и В(а, f (а)).

П усть функция f неотрицательна на ограниченном промежутке Х = , a < b, а τ- = - дробление этого промежутка, образованное точками . Рассмотрим нижнюю интегральную сумму τ) = . На произведение m_j будем смотреть как на произведение измерений прямоугольника , основанием которого является промежуток а высота равна m_j ( рис. 4). Тогда τ) есть сумма площадей всех прямоугольников , j =1,2, …,l. Обозначим через обьединение этих прямо-угольников: = . Площадь пересечения двух соседних прямоугольников равна нулю; поэтому площадь “ступенча- той” фигуры равна сумме площадей составляющих её прямоугольников:

σ( ) = = τ). В этом и состоит геометрическая интерпретация нижней интегральной суммы τ).

Аналогичную интерпретацию имеет и верхняя интегральная сумма τ) = = . Произведение М_j есть площадь прямоугольника с основанием и высотой М_j , а τ) равна площади “ступенчатой” фигуры = .

Заметим, что фигура содержится в подграфике (рис. 4), а содер- жится в фигуре . Таким образом, для всякого дробления τ промежутка X = справедливы включения :

(3)

Интегральная сумма S (f, τ) = также может быть интерпретирована как площадь “ступенчатой” фигуры – обьединения прямоугольников с основаниями и высотами f (ξ_j).