2.8. Определенный интеграл

Пусть функция f интегрируема на ограниченном промежутке , a < b. Тогда для любой нормальной последовательности { τ_k} дроблений этого промежутка τ_k)- - τ_k) . а в силу (4) , п.1.6, при всех натуральных k справедливы неравенства τ_k) ≤ ≤ τ_k). Отсюда следует, что и что

I. (11) где I = . Кроме того, из равенств (11), свойства 1, п.1.5, и теоремы о “сжатой ” последовательности ([1], стр.22) вытекает равенство I.

Таким образом, если функция f интегрируема на промежутке , a < b, то су- ществует число I такое, что для любой нормальной последовательности { τ_k} дроб- лений этого промежутка последовательности интегральных сумм { },{ } и { } сходятся к I. Число I называют определенным интегралом от функции f по промежутку и обозначают символом .

В символе функцию f называют подынтегральной функцией, х – пере- менной интегрирования, a и b - нижним и верхним пределами интегрирования соответст- венно. Определенный интеграл от функции f по промежутку обозначают также сим- волами и .

Итак, если f интегрируема на , то

. где { τ_k} - любая нормальная последовательность дроблений промежутка .

Пример 1. Пусть функция f тождественно на промежутке равна константе: f(х) ≡ С, С . Тогда = С(b-a).

► Функция f(х) ≡ С непрерывна и ограничена на и потому она интегрируема на этом промежутке (см. теорему 1,п.1.7). Пусть τ = - некоторое дробление проме- жутка , а , . Заметим: f( ) = С, , поэтому

S (f, τ) = = = = C (b - a).

Пусть {τ_k} - нормальная последовательность дроблений промежутка . При всяком натуральном k имеем: S (f, τ_k) = C (b - a). Отсюда получим:

= C (b - a). ◄

Выше символ введен при условии, что нижний предел интегрирования a меньше верхнего предела интегрирования b. Из соображений удобства в оперировании этим символом определим его значение для случаев, когда нижний предел интгрирования равен верхнему пределу или больше его: если функция f определена в точке a, положим по определению = 0; если a > b, положим по определению

= - .

2.9. Свойства определенного интеграла, выражаемые равенствами

В этом пункте считаем a < b, а функции f и g интегрируемыми на .

1. = + .

► Пусть τ = - некоторое дробление промежутка , а , . Обозначим: h(x) = f(x)+g(x). В силу свойства 1, п.1.7., h – интегрируемая функция. Имеем:

S (h, τ) = = S (f, τ) + S (g, τ) Таким образом, при любом дроблении τ S (h, τ) = S (f, τ) + S (g, τ).

Пусть {τ_k} - произвольная нормальная последовательность дроблений . При всяком натуральном k имеем: S (h, τ _k) = S (f, τ _k) + S (g, τ _k). Перейдя в этом равен- стве к пределу, получим равенство для интегралов, которое требовалось доказать. ◄

2. = С . где С – некоторое число.

► Пусть τ = - некоторое дробление промежутка , а , . Обозначим: h(x) =С f(x). В силу свойства 2, п.1.6., h – интегрируемая функция. Имеем: S (h, τ) = = . Таким образом, при любом дроблении τ S (h, τ) = С S (f, τ).

Пусть {τ_k} - произвольная нормальная последовательность дроблений . При всяком натуральном k имеем: S (h, τ _k) = С S (f, τ _k). Перейдя в этом равенстве к пределу, получим равенство для интегралов. ◄

3. = - , где f и f - составляющие функции f .

► Так как f интегрируема, то интегрируемы f и f ( см. свойство 4, п. 1.7 ). Напомним: f = f - f . Из свойств 1. и 2. вытекает:

=

= + (-1) = - . ◄

4. Если функция f неотрицательна на промежутке Р = , то равен площади подграфика .

► Пусть {τ_k} - нормальная последовательность дроблений промежутка . При каждом k =1,2,… имеем (см. (3)): причем

σ( ) = τ_k) → , σ( ) = τ_k) → . Значит, = σ( ). ◄

5. Пусть с – некоторое число , a < с < b . Тогда

= +

► Так как f интегрируема на промежутке Х = , она интегрируема и на Х₁= , и на Х₂ = (см. свойство 3, п.1.7).

*) Пусть сначала f неотрицательна на . Имеем (рис. 6 ) : Пересечение подграфиков и пред- ставляет собой ограниченный отрезок прямой х=с (рис.6 ). З начит, площадь их пересечения равна нулю; поэтому + + , а это в силу свойства 4. и есть равенство = + .

**) Пусть f произвольная интегрируемая на промежутке функция, а f и f - её составляющие. По доказанному в *)

= + ; = + . Почленно вычитая из первого равенства второе, получим:

- = ( - ) + ( - ). По свойству 3. разность интегралов в левой части этого равенства равна , разности в скобках в его правой части равны и . Таким образом, получено равенство, которое требовалось доказать. ◄

Замечание. Равенства этого пункта доказаны в предположении a < b и a < с < b. Однако, опираясь на определения п. 1.7 , нетрудно убедится, что они остаются справедли- выми при a ≥ b и при любых вариантах расположения точек a , с и b на числовой оси .