2°. Коэффициенты Тейлора. Ряд Тейлора.

Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки х₀ , т.е. на некотором интервале (a;b), a<x₀<b, и пусть задан вещественный степенной ряд с положительным радиусом сходимости R и суммой S(х). Мы будем говорить, что функция f разлагается в точке х₀ в степенной ряд , если существует ε > 0 такое, что в ε – окрестности точки х₀ функция f(х) совпадает с S(х), т.е. . Если функция f разлагается в точке х₀ в степенной ряд , будем записывать: f(х) = , .

Задача о разложении заданной функции в степенной ряд, т.е. о построении степен- ного ряда, сумма которого совпадала бы с заданной функцией – одна из важнейших в математическом анализе. Легко видеть, что она может иметь решение только тогда, когда у заданной функции есть производные любых порядков, т.е. когда она бесконечно дифференцируема – ведь сумма степенного ряда обладает таким свой- ством. Из теоремы 6 следует, что коэффициенты степенного ряда, в который разло- жена функция, должны определенным образом выражаться через значения функции и ее производных. Bведем термины : коэффициенты Тейлора и ряд Тейлора.

Пусть функция f бесконечно дифференцируема в некоторой точке х₀, x₀ R. Обо- значим: t₀ = f(x₀), и при всех натуральных k t_k = . Числа t₀, t₁, … , t _k, … называют коэффициентами Тейлора функции f , а вещественный степенной ряд

(4)

называют рядом Тейлора функции f в точке х₀ .

Заметим, что утверждение 1) теоремы 6 теперь можно сформулировать так: ко- эффициенты степенного ряда являются коэффициентами Тейлора суммы этого ря- да; всякий степенной ряд с положительным радиусом сходимости есть ряд Тейло- ра своей суммы. Отметим и справедливость следующего утверждения: если заданая функция разлагается в точке х₀ в степенной ряд, то он является рядом Тейлора этой функции.

Таким образом, чтобы функцию f можно было разложить в точке х₀ в степенной ряд, необходимо, чтобы она была бесконечно дифференцируема в этой точке, т.е. имела в этой точке производные любых порядков. Однако, этого недостаточно для разложимости функции в ряд: может оказаться, например,что радиус сходимости ряда Тейлора равен нулю; а в случае положительного радиуса сходимости может оказаться, что сумма ряда Тейлора функции f не совпадает функцией f . Таким об- разом, нужны теоремы о возможности разложить заданную бесконечно дифферен- цируемую функцию в ряд Тейлора. Теорема 7 – одна из таких теорем.

Теорема 7. (Достаточное условие разложимости функции в степенной ряд ) Пусть функция f бесконечно дифференцируема на интервале (a;b), a<x₀<b . Если существует М > 0 такое, что при всех натуральных n и всех х, принадлежащих (a;b), справедливо , то ряд Тейлора функции f сходится на интервале (a; b), а его сумма совпадает на этом интервале с функцией f .

► Пусть n – некоторое натуральное число, а х- некоторая точка интервала (a;b). Воспользуемся теоремой Тейлора-Лагранжа ( [4], п.2.4): существует ξ, лежащее между х и х₀ , такое, что , где - многочлен Тейлора функции f . Отсюда:

,

где . Ряд сходится, что нетрудно показать с помощью призна- ка Даламбера. Значит, , и потому . Здесь х –любая точка интервала (a;b). Это означает, что функция f является на (a;b) предельной функци- ей последовательности функций . Но, очевидно, многочлен Т_n есть n –ая части- чная сумма ряда Тейлора . Следовательно, f есть сумма этого ряда. ◄

Рассмотрим важные для практики примеры разложения функций в ряд Тейлора. В этих примерах функции разложены в точке х₀ =0. Такие разложения часто называют разложениями в ряды Маклорена.

Пример 1. . При всяком натуральном k . Найдем коэффици- енты Тейлора : N . Запишем ряд Тейлора этой функции в точке х₀ =0 ( ряд Маклорена ): .Найдем ради- ус сходимости R этого ряда : Значит, R =+∞. Интервалом сходимости ряда является вся числовая ось, и сумма ряда S(x) опреде- лена во всех ее точках. Функция также определена на всей числовой оси. Совпадают ли и S(x) ? Обратимся к теореме 7. Применить ее сразу ко всему интервалу (-∞ ; +∞) не удастся, так как производные не ограничены на нем. Рассмотрим интервал (- А;А), где А >0. Для всякого х из этого интервала име- ем: < = M. В силу теоремы 7 во всех точках интервала (-А;А) функ- ции и S(x) совпадают. Отсюда, так как А может быть выбрано любым, следует совпадение и S(x) во всех точках числовой оси. Итак,

= 1 + х+ R

Пример 2. . При всех N . Отсюда :

Запишем ряд Маклорена : Очевидно,при любых х Следовательно, теорема 7 гарантирует сходимость рассматриваемого ряда во всех точках числовой оси и совпадение его суммы с . Итак.

= , R

Пример 3. При всех N . Отсюда :

Запишем ряд Маклорена : Так же, как в предыду- щем примере теорема 7 гарантирует :

, R

Пример 4. При всех N . Отсюда :

Запишем ряд Маклорена :

Найдем его радиус сходимости R : r = ; значит, R = 1. Выясним поведение ряда в граничных точках ±1 интервала сходимости. (-1;1). Подставив в ряд х = -1 получим расходящийся ряд - , при х = 1 получим знакочередующийся ряд , который условно сходится. Таким образом, множество сходимости представляет собой полуоткрытый промежуток (-1 ; 1]. Сумму этого ряда обозначим через S(x) :

S(x) = , (-1 ; 1].

По теореме 4 S(x) дифференцируема на интервале сходимости (-1 ; 1), и при вся- ком х из этого интервала S′ (x) = Сумма ряда в правой части этого равенства есть, очевидно, . Значит, на (-1 ;1) S(x) = . Равенство S(x) = ln (1+x) справедливо и при х =1. Действительно, S(x) непрерывна на (-1 ; 1] (см. замечание к теореме 2) и совпада- ет с ln (1+x) на (-1 ; 1); поэтому S(1) = =ln2 . Итак,

ln (1+x) = , (-1 ; 1].

Пример 5. , где α – вещественное число, отличное от нуля и не при- надлежащее к натуральным числам. При любом натуральном k . Значит,

.

Найдем радиус сходимости R ряда Маклорена:

R = 1.

Обозначим через S(x) сумму этого ряда :

Записанное равенство справедливо для каждого х, принадлежащего интервалу схо- димости (-1;1). По теореме 4 для тех же х

Умножим обе части этого равенства на 1+х: (1+х) S′(x) = S′(x) +х S′(x) =

=

+ х =

= α = = α S(x).

Таким образом, на интервале (-1;1) (1+х) S′(x) = α S(x). Обозначим: . Заметим: . Значит, F′( x ) тождественно на (-1;1) равна нулю; поэтому F ( x ) тождественно на (-1;1) равна константе. Но . Зна- чит, F ( x ) ≡ 1,т.е. при всех х, принадлежащих интервалу сходимости (-1;1) , спра- ведливо S(x) = (1+х) . Итак, на интервале (-1;1)

(1+х) =