§ 3. Ряды Тейлора
1˚. Вещественные степенные ряды
Степенной ряд будем называть вещественным степенным рядом, если все его коэффициенты сk и центр круга сходимости а являются вещественными чис- лами. Ряды, рассмотренные в примерах 17,18, и 19 ,§ 1, - это вещественные степенные ряды.
Опишем поведение вещественного степенного ряда . в точках вещест- венной оси Пусть R – радиус сходимости этого ряда. Интервал (а–R; а+R) является диаметром круга сходимости ; поэтому в каждой точке этого интервала ряд абсо- лютно сходится; Точки вещественной оси, лежащие вне сегмента [а–R; а+R], нахо- дятся вне окружности | z- a | = R, ограничивающей круг сходимости; поэтому ряд в таких точках расходится. Что касается точек а ± R , то есть ряды, сходящиеся в каждой из них, есть ряды расходящиеся в обеих этих точках, наконец, есть и такие, которые в одной из них сходятся, а в другой расходятся ( пример 19, § 1).
Пусть заданы последовательность вещественных чисел и вещественное чис- ло а. Рассмотрим функциональный ряд (х), где при любом вещественном х и любом натуральном k fk(x) = ck-1(x-a) . Обозначим через Х0 , Х0 R , множест- во сходимости этого ряда, а через S(x) – его сумму. Очевидно, ряд (х) - это ве- щественный степенной ряд :
(1)
Из сказанного выше явствует, что множество сходимости Х0 ряда (1) представляет собой или интервал (а–R; а+R), где R – радиус сходимости, или сегмент [а–R; а+R], или один из полуоткрытых промежутков, ограниченных точками а ± R . Интервал (а–R; а+R) называют интервалом сходимости ряда (1). В его точках сходимость ря- да всегда абсолютная. Выясним вопрос о равномерной сходимости ряда (1).
Теорема 1. ( О равномерной сходимости степенногоь ряда внутри интервала сходимости) Пусть радиус сходимости R ряда (1) больше нуля (случай R=+∞ не исключен). Ряд (1) равномерно сходится на всяком сегменте, содержащемся в ин -тервале сходимости (а–R; а+R).
► Для доказательства теоремы достаточно установить равномерную сходимость ряда на всяком сегменте вида [а–r; а+r], где 0<r<R, ибо для любого сегмента [α ; β], содержащегося в интервале (а–R; а+R) всегда можно подобрать r, 0<r<R, такое, что [α ; β] [а–r; а+r], и если ряд равномерно сходится на [а–r; а+r], то он равномерно сходится и на [α ; β].
Итак,
пусть задано некоторое r,
0<r<R..
Обозначим: через х0
любую
из точек а±
r.
Так как х0
(а–R;
а+R)
, ряд (1) абсолютно сходится в этой точке,
т.е. сходится ряд
;
кроме того, для всякого х
[а–r;
а+r]
имеем :
при
всех k
= 0,1, … Отсюда и из признака Вейерштрасса
(теорема 3, § 2) вытекает равномерная
сходимости (1) на сегменте [а–r;
а+r].
◄
Замечание 1. Хотя ряд равномерно сходится на всяком сегменте, содержащемся в (а–R; а+R), он не всегда является равномерно сходящимся на всем этом интервале.
Замечание 2. Если ряд сходится в точке а+R, он равномерно сходится на всяком сегменте [а–r; а+R] , где0<r<R.. Если ряд сходится в точке а–R, он равномерно схо- дится на всяком сегменте [а–R; а+r],где 0<r<R. Доказательства этих утверждений можно найти в [1], том 1.
Последующие теоремы посвящены свойствам суммы вещественного степенного ряда.
Теорема 2. ( О непрерывности суммы степенного ряда ) Сумма S степенного ряда (1) непрерывна на интервале сходимости этого ряда.
► Пусть х0 – некоторая точка интервала сходимости (а–R; а+R). Подберем r, 0<r<R, такое, чтобы было выполнено х0 [а–r; а+r] По теореме 1 ряд равномерно сходится на [а–r; а+r] . Так как члены ряда непрерывны на [а–r; а+r], в силу тео- ремы 5, § 2, его сумма S также непрерывна на [а–r; а+r]. Значит, S непрерывна в точке х0. Так как х0 - любая точка интервала (а–R; а+R), доказана непрерывность S на этом интервале. ◄
Замечание. Из замечания 2 к теореме 1 и теоремы 4, § 2 вытекает: если ряд (1) сходится в точке а+R, то S непрерывна на промежутке (а–R; а+R] ; если ряд (1) схо- дится в точке а-R, то S непрерывна на промежутке [а–R; а+R) .
Пусть
х – некоторое вещественное число.
Заметим: при любом k
= 0,1, 2. …
.
Мы будем говорить, что ряд
(2)
получен почленным интегрированием ряда (1). Ряд (2) представляет собой также вещественный степенной ряд. Его радиус сходимости обозначим через Ri , его сумму – через Si .
Теорема
3. (О
почленном интегрировании степенного
ряда
) 1) радиус сходимо- сти ряда (2) не меньше
рядиуса сходимости ряда (1). 2) Для
любого х
(а–R;
а+R)
Si(х)
=
,
где S
– сумма ряда (1).
► Выберем некоторое х (а–R; а+R). По теореме 1 ряд (1) равномерно сходится на сегменте, ограниченном точками а и х; значит, в силу теоремы 5. § 2, ряд (1) мож- но почленно проинтегрировать по указанному сегменту:
,
т.е.
= Si(х).
Мы доказали тем самым, что ряд (2) сходится в точке х и нашли значение его суммы в этой точке. Но х – произвольная точка интервала (а–R; а+R). Значит, (2) сходится в каждой точке этого интервала и поэтому утверждение 1) теоремы справедливо. Утверждение 2) теоремы. также доказано. ◄
Мы будем говорить, что ряд
(3)
получен почленным дифференцированием ряда (1). Ряд (3) есть вещественный сте- пенной ряд. Его радиус сходимости обозначим через Rd, его сумму – через Sd.
Теорема 4. ( О почленном дифференцировании степенного ряда ) 1) Радиус сходимости ряда (3) не меньше радиуса сходимолсти ряда (1) . 2) Сумма S(x) ряда (1) дифференцируема в каждой точке интерала сходимости (а–R; а+R), причем на этом интервале S′(x) = Sd(x).
► 1)
Выберем некоторое х
(а–R;
а+R)
и докажем,что (3) сходится в этой точ -ке.
Найдется r,
0<r<R,
такое, что х
[а–r;
а+r].
Так как х0
=
а+r
принадлежит (а–R;
а+R)
, ряд (1) абсолютно сходится в этой
точке,т.е. сходится ряд
.
Общий член этого ряда стремится к нулю,
значит, последовательность {|ck|
|}
ограничена: существует М > 0 такое,
что при всех k
|ck|
|
≤ M.
Теперь для выбранного выше х
получим:
,
где
q
=
< 1. С помощью признака Даламбера
нетрудно установить, что ряд
сходится;. Значит, сходится и ряд
,
т.е. (3) абсолютно сходится в выбранной
точке х.
Но х
– произвольная точка интервала (а–R;
а+R),
следовательно (3) сходится на этом
интервале и поэтому Rd
≥
R.
.
2)
Почленно проинтегрируем ряд (3): так
как
, то полу-чим ряд
.
Очевидно, его сумма равна S(x)
– с0.
По теореме З S(x)
– с0=
.
Отсюда: S(x)
= с0
+
.
Sd
–
непрерывная функция как сумма степен-
ного ряда, поэтому интеграл с переменным
верхним пределом
- функция, дифференцируемая, причем ее
производная равна Sd.
Значит, если х
(а–R;
а+R)
, то S′(x)
= Sd(x).
◄
Следствие. Сумма степенного ряда имеет на интервале сходимости производные любого порядка.
► Действительно, Сумма S(x) ряда (1) – дифференцируемая функция, производ- ая которой S′ (x) есть сумма ряда (3), полученного почленным дифференцированием ряда (1). Таким образом, S′ (x) в свою очередь является суммой степенного ряда (3); значит, она дифференцируема, а ее производная S″(x) является суммой степенного ряда, полученного почленным дифференцированием ряда (3). Эти рассуждения мо- гут быть продолжены неограниченно. ◄
Теорема 5. (О сохранении радиуса сходимости при почленном интегрировании и дифференцировании степенного ряда ) Пусть R, Ri и Rd – радиусы сходимости рядов (1),(2) и (3) соответственно. Тогда R = Ri = Rd.
► При почленном интегрировании и дифференцировании степенного ряда ради- ус сходимости не уменьшается (утверждения 1) теорем 3 и 4 ). Почленно проинтег- рировав ряд (3), получим ряд ( см. доказательство предыдущей теоре- мы), радиус сходимости которого, очевидно, равен R; значит, R ≥ Rd. Вместе с нера- венством Rd ≥ R (теорема 4) это даст Rd= R. Аналогично, почленно дифференцируя (2), докажем равенство Ri = R. ◄
Теорема
6. (
О
коэффициентах степенного ряда
) 1) Для коэффициентов сk
ряда (1) справедливы равенства : с0
= S(а)
и при всяком натуральном k
ck=
.
2)
Пусть
есть сумма некоторого вещественного
степенного ряда
;
если на некотором интервале (а–δ;
а+δ)
, где δ
> 0,
≡
S(х),
то коэффициенты ряда
совпадают с соответствующими коэффициентами
ряда (1) : при всех k
= 0,1, …
.
► 1) При всяком х на (а–R; а+R) имеем:
S(х)
=
.
Последовательно дифференцируем это равенство:
S′(х)
=
S′′(х)
=
…………………………………………………….
S
(х) = k(k-1)…2·1ck
+ (k+1)k…2
ck+1(x-a)+
… ;
………………………………………………………
при х=а из этих равенств получаем: S(а) = с0 ; S′(а) = с1 ; S′′(а) = 2 с2 ; … S (а) = = k! ck, … , что и требовалось доказать.
2)
Так как
≡
S(х)
на (а–δ;
а+δ),
то
и при всех натуральных k
.
Отсюда:
=
с0
, и при всех натуральных k
=
.
◄