1.4. Примеры задач оптимизации

Математическую модель экономической задачи будем называть экономико-математической.

Задача 1. Задача планирования производства. На двух предприятиях отрасли необходимо изготовить N изделий некоторой продукции. Затраты на производство х₁ изделий на первом предприятии составляют ах₁²+с руб, а на производство х₂ изделий на втором предприятии bx₂ руб. Определить, сколько изделий на каждом из предприятий следует произвести, чтобы общие затраты на производство изделий были минимальными. Составить математическую модель задачи.

□ 1. Объектом оптимизации является план выпуска продукции, ограниченный количеством изделий N и установленными затратами.

2.Управляемые переменные х₁,х₂ – количества изделий первого и второго предприятий.

3. х₁,х₂ – неотрицательные переменные и в сумме составляют N изделий, т.е.

х₁ + х₂ = N, х₁,х₂ 0.

4. Целевой функцией является совокупность затрат на производство изделий

f (x) = ax₁² + c + bx₂, и эти затраты должны быть минимальными.

5. Математическая постановка задачи состоит в определении минимального значения функции, т.е.

f (x) = ax₁² +bx₂ + c min

при ограничениях

x₁ + x₂ = N,

x₁,x₂ 0.

6. Так как целевая функция нелинейная, то данная задача – задача нелинейного программирования.

Задача 2(задача об использовании мощностей). Для производства двух видов изделий А и В используют три типа оборудования. Все изделия должны пройти обработку на оборудовании каждого типа. Время обработки на оборудовании i-го типа для изделия А равно t_1i , а В - t_2i. Затраты на изготовление изделий А составляют с₁ руб., а на В – с₂ руб. Оборудование первого и третьего типа можно использовать не более Т₁ и Т₃ часов, а оборудование второго типа не менее Т₂ часов. Составить план выпуска изделий так, чтобы себестоимость одного изделия была минимальной. Составьте математическую модель задачи.

□ Объектом оптимизации является план выпуска изделий, ограниченный ресурсами времени на оборудование и стоимостью изделия.

Управляемые переменные х₁,х₂ – количества изделий соответственно видов А и В.

Ограничения на управляемые переменные х₁,х₂0 .

Ограничения на время использования технологического оборудования приводят к неравенствам

x₁t₁₁ + x₂t₁₂  T₁,

x₁t₁₂ + x₂t₂₂  T₂, (*)

x₁t₁₃ + x₂t₂₃  T₃.

Целевая функция – это себестоимость одного изделия

f(x) =

Математическая постановка задачи состоит в минимизации целевой функции

f (x) =  min,

при ограничениях (*) и х₁,х₂ 0.

Математическая модель данной задачи представляет собой задачу нелинейного программирования с линейными ограничениями на допустимое множество. Подобные задачи называют задачами дробно-линейного программирования.

Задача3.(задача о диете). Имеются два вида корма I и II, содержащие питательные вещества (витамины) S₁,S₂,S₃. Содержание числа единиц питательных веществ в 1 кг каждого вида корма и необходимый минимум питательных веществ приведены в таблице (цифры условные). Стоимость одного кг корма I и II соответственно равна 4 и 6 руб. Необходимо составить дневной рацион, имеющий минимальную стоимость, в котором содержание каждого вида питательного вещества была бы не менее установленного предела.

питательное вещество	Необходимый минимум питательного вещества	Число единиц I	питательного вещества II
S1	9	3	1
S2	8	1	2
S3	12	1	6

□ Составим экономико-математическую модель задачи.

Обозначим х₁,х₂ – количество кормов I и II , входящих в дневной рацион. Тогда этот рацион будет включать (3х₁+х₂) ед. питательного вещества S₁, (х₁+2х₂) единиц вещества S₂, (х₁+6х₂) ед. - S₃. Так как содержание питательных веществ S₁,S₂,S₃ в рационе должно быть не менее соответственно 9, 8, 12 единиц, то получим систему неравенств

(6)

Общая стоимость рациона составит f (x) = 4x₁+6x₂ (руб). (7)

Итак, экономико-математическая модель задачи: составить дневной рацион

Х = (х₁,х₂) , удовлетворяющий системе (6), при котором функция (7) примет минимальное значение. Данная задача – задача линейного программирования.

Задача 4(о раскрое материалов). Для изготовления брусьев длиной 1,2 м, 3 м и 5 м в соотношении 2:1:3 на распил поступают 195 бревен длиной 6 м. Определить план распила, обеспечивающий максимальное число комплектов. Составить экономико-математическую модель задачи.

□ Прежде всего определим всевозможные способы распила бревен, указав соответствующее число получаемых при этом бревен

Способ распила	Число 1.2	получаемых 3.0	брусьев 5.0
1	5
2	2	1
3		2
4			1

Обозначим x_i – число бревен, распиленных i-м способом (i= 1,2,3,4); х-число комплектов брусьев. Учитывая, что все бревна должны быть распилены, а число брусьев каждого размера должно удовлетворять условию комплектности, экономико-математическая модель задачи примет вид:

f =x max

при ограничениях

x_i 0, i=1,2,3,4.

Данная задача линейного программирования.

Литература.

1. Кремер Н.Ш. и др. Исследование операций в экономике. –М.: ЮНИТИ, 2002, стр. 4-15

2. Лесин В.В., Лисовец Ю.П. Основы методов оптимизации.- М,: МАИ, 1998

Стр. 10- 21, 124 – 127.

Лекция 2

Общая задача линейного программирования