3.4. Жордановы преобразования систем линейных уравнений

Базисное решение находится методом Жордано-Гаусса. Пусть дана система линейных уравнений

(1)

Теорема. Элементарные преобразования переводят данную систему уравнений в равносильную ей систему.

Жордановы преобразования состоят из элементарных преобразований, выполняемых в определенном порядке, вследствии их получается система уравнений , равносильная данной. Запишем систему (1) в виде таблицы

x1	x2	. . . .	xk	. . . .	xn	bi
a11	a12		a1k		a1n	b1
a1k	A2k		a2k		a2n	b2
-	-		-	-	-	-
al1	al2		[alk]	-	aln	bl
-	-					-
am1	am2		amk	-	amn	bm

Эту таблицу будем называть системой уравнений, а строки уравнениями. Выберем любой ненулевой элемент a_lk  0. Он называется разрешающим, а строка l и столбец к – разрешающими строкой и столбцом. В качестве разрешающего элемента нельзя выбирать свободные члены системы уравнений. Выбранный элемент a_lk заключаем в рамку.

Определение. Жордановыми преобразованиями СЛУ с разрешающим элементом a_lk называется следующая совокупность элементарных преобразований:

1.Умножаем каждый элемент разрешающей строки на число 1/ a_lk. Новую строку записываем в новую таблицу.

2.При помощи новой разрешающей строки, т.е. l-ой строки таблицы преобразуем все остальные строки следующим образом: к 1-ой строке прибавим новую разрешающую строку, умноженную на (-а_1к), ко второй строке прибавим разрешающую строку , умноженную на (-а_2к) и т.д. К т-ой строке прибавляем новую разрешающую строку, умноженную на (-а_тк). Получим таблицу

х1	х2	. . .	хк	. . .	хп	bi
a11	a12	. . .	0	-	a1n	b1
-	-	-	-	-	-	-
al1	al2	-	1	-	aln	bl
-	-	-	-	-	-	-
am1	am2	-	0	-	amn	bm

Цель жордановых преобразований: получить новую систему, равносильную данной , у которой в разрешающем столбце (единичном столбце), т.е. в уравнении l содержится х_к, отсутствующее в остальных уравнениях. Имеем формулы:

a_ij = a_ij -