Задание 2. Докажите равенство множеств и проиллюстрируйте его с помощью кругов Эйлера.
Пример. A (В \ С) = (A В) \ (A С).
Первый способ решения основан на следующем определении: множества A и В называются равными, если A В и В A. Докажем, что A (В \ С) (A В) \ (A С). Пусть произвольный элемент х A (В \ С). Тогда по определению пересечения множеств х A и х В \ С. Так как х В \ С, то х В, но х С (по определению разности множеств). Так как х A и х В, то х A В. Так как х С, то х A С. Из того, что х A В и х A С, следует, что х (A В) \ ( A С). По определению подмножества: A (В \ С) (A В) \ (A С).
Докажем теперь, что (A В) \ (A С) A (В \ С). Пусть х (A В) \ (A С). По определению разности множеств х A В и х A С. Если х A В, то х A и х В. С другой стороны, х A С, следовательно, х С. Так как х В и х С, то х В \ С. С учетом того, что х A, получим х A (В \ С). Следовательно, (A В) \ (A С) A (В \ С).
Вывод: т.к. A (В \ С) (A В) \ (A С) и (A В) \ (A С) A (В \ С), то A (В \ С) = (A В) \ (A С).
Второй способ решения основан на законах теории множеств и, в частности,
1. A \ В = A В
2. A (В С) = (A В) С
3. (A В) = A В
4. A (B С) = (A В) (A С)
5. A A =
6. A =
7. A = A
С
другой стороны,
(A
B) \ (A
С)
= (A
B)
(A
C)
= (A B)
(A
C
) = (A
B
A
)
(A
B
C
) = (B
)
(A
B
C
) =
(A
B
C
) = A
B
C
.
B результате преобразований мы получим одно и то же множество, что доказывает справедливость равенства: A (B \ C) = (A B) \ (A C).
J
J
A
B
A
B
C
C
A(B \ C) (AB) \ (AC)
На диаграмме 1 множество A (B \ C) изображено двойной штриховкой. На диаграмме 2 множество A B изображено горизонтальной штриховкой, множество A C - вертикальной штриховкой, множество (A B) \ (A C) - только одной горизонтальной штриховкой. Как видно из приведенных диаграмм, результирующие множества совпадают, что подтверждает равенство множеств A (B \ C) и (A B) \ (A C).
Варианты.
1. А \ В = А В;
;
;А \ В = В \ (А В);
А \ С = С \ (А С) ;
(А В ) С = (А С) В;
;
;(А В) \ С = А (В \ С );
10.
Задание 3. Решите задачу, применив круги Эйлера.
Пример. В группе 36 студентов. Известно, что спортсменов - 21, занимающих в кружках - 20, учащихся без троек - 22, причем каждый студент входит в какую-нибудь из перечисленных групп. Спортсменов и занимающихся в кружках - 11, спортсменов и учащихся без троек - 12, занимающихся в кружках и учащихся без троек - 13. Сколько студентов, занимающихся в кружках и спортом, учится без троек?
Решение. Обозначим а - множество спортсменов в группе, в - множество студентов группы, занимающихся в кружках, с - множество студентов, занимающихся без троек. По условию, объединение этих множеств есть множество всех студентов группы.
Следовательно, n (а в с) = 36,
n (а) = 21, n (а в) = 11,
n (в) = 20 , n (в с) = 13,
n (с) = 22, n (а с) = 12.
Изобразим указанные множества на диаграмме Эйлера-Венна (рис.4) и опишем характеристические свойства подмножеств разбиения.
x-2 11-x x-4
x
12-x 13-x
x-3
Рис. 4
а в с - студенты, которые занимаются спортом, но не занимаются в кружках и имеют тройки.
а в с - студенты, которые занимаются в кружках, но не занимаются спортом и имеют тройки.
а в с - студенты, которые не имеют троек, но не занимаются в кружках и спортом.
а в с - спортсмены, которые занимаются в кружках, но имеют тройки.
а в с - студенты, которые не занимаются спортом, но занимаются в кружках и учатся без троек.
а в с - студенты, которые занимаются спортом и учатся без троек, но не занимаются в кружках.
а в с - студенты, которые не занимаются спортом и в кружках и имеют тройки.
а в с - спортсмены, которые занимаются в кружках и учатся без троек. Обозначим их число через х, т.е. n (а в с) = х.
Тогда n (а в с ) = 11 - х, n (в с а ) = 13 - х, n (а с в ) = 12 - х,
n (а в с ) = 21 - (12 - х + 11- х +х) = х -2,
n (а в с ) = 20 - (11 - х + 13 - х + х) = х - 4,
n (а в с) = 22 - (12 - х + 13 - х + х) = х - 3.
Зная, что каждый студент входит в какую-либо из перечисленных групп, т.е. n (а в с ) = 0, составим уравнение:
(х - 2) + (11 - х) + х + (12 - х) + (х - 4) + (13 - х) + (х - 3) = 36, откуда х = 9.
Ответ: 9 студентов, занимающихся в кружках и спортом, учатся без троек.
Второй способ решения этой задачи основан на известной формуле:
n (а в с) = n (а) + n (в) + n (с) - n (а в) - n (а с) - n (в с) + n (а в с).
Подставив данные задачи, получим:
36 = 21 + 20 + 22 - 11 - 13 - 12 + n (а в с) или
36 = 27- n (а в с), откуда n (а в с) = 9.
Варианты.
Одному из учащихся было поручено написать заметку в стенную газету об успеваемости класса за первое полугодие. Он взял журнал и выписал следующие сведения: «Из 40 учащихся класса не имеют «троек» по русскому языку 25 человек, по математике – 28, по физике – 31, по математике и физике – 22, по математике и русскому языку – 16, по физике и русскому языку – 16, 12 человек учатся без «троек» по всем предметам». Редактор, прочитав заметку и подумав, сказал: «Ты, ошибся в счете, данные явно неверные». Объясните, почему эти сведения не могут быть верными.
В областной спартакиаде участвовала школьная команда из 20 человек. Каждый из них имеет разряд по одному или нескольким видам спорта: легкой атлетике, плаванию и гимнастике. Известно, что 12 из них имеют разряды по легкой атлетике, 10 – по гимнастике, 5 – по плаванию. Сколько учеников из этой команды имеют разряды по всем трем видам спорта, если по легкой атлетике и плаванию имеют разряды 2 человека, по легкой атлетике и гимнастике – 4 человека, по плаванию и гимнастике – 2 человека?
В пятых классах школы учится 70 человек. Им было предложено записаться в три кружка: по математике, литературе и истории. Один ученик подсчитал число учащихся, желающих участвовать во внеклассной работе, и получил такие результаты. В кружок по математике записался 51 человек, по литературе – 40, по истории – 22. Шесть человек решили заниматься во всех кружках, математикой и литературой решили заниматься 32 человека, математикой и историей – 11 человек, а литературой и историей – 8 человек. Получив результаты, он сказал: «Можно подумать, что у нас в пятых классах обучается не 70 человек, а 170. Все хотят заниматься в кружках». Однако один из любителей математики сказал: «Что ты, у нас есть ученики, которые не любят ни математику, ни литературу, ни историю. Я даже могу сказать, сколько их». Как он узнал?
В течение некоторого времени число дождливых дней было равно 10, ветреных – 8, холодных – 6, дождливых и ветреных – 5, дождливых и холодных – 4, ветреных и холодных – 3 и, наконец, дождливых, ветреных и холодных – 1. Сколько было всего дней с плохой погодой?
В начальной школе 70 учеников. Из них 27 ходят в драмкружок, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов. 3 спортсмена посещают и драмкружок, и хор. Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не ходят в драмкружок?
В районной математической олимпиаде участвовали 75 учащихся шестых классов. Им было предложено решить задачу по алгебре, задачу по геометрии и арифметический пример. С арифметическим примером справился 51 человек, задачу по геометрии решили 35 человек, по алгебре – 40 человек. 61 ученик выполнил задание по арифметике или алгебре, 60 – по арифметике или геометрии, 53 – по алгебре или геометрии, а 7 шестиклассников не выполнили правильно ни одного задания. Сколько участников олимпиады выполнили все три задания?
В классе 35 учеников, каждый из которых любит хотя бы один из видов спорта: футбол, волейбол, баскетбол. 24 из них любят футбол, 18 – волейбол и 12 – баскетбол. Дело в том, что 10 учеников одновременно любят и футбол и волейбол, 8 – футбол и баскетбол, 5 – волейбол и баскетбол. Сколько учеников этого класса любят все три вида спорта?
При обследовании 100 студентов были получены следующие данные о числе студентов, изучающих различные языки: только немецкий – 18; немецкий, но не испанский – 23; немецкий и французский – 8; немецкий – 26; французский – 48; французский и испанский – 8; никакого языка – 24. Определите, сколько студентов изучает все три языка и сколько студентов изучает только испанский язык?
В классе 40 человек. Играют в баскетбол 26 человек, занимаются плаванием – 25, ходят на лыжах – 27. Одновременно занимаются плаванием и баскетболом 15 человек, баскетболом и лыжами – 16, плаванием и лыжами – 18. Один человек освобожден от занятий по физкультуре. Сколько человек занимается всеми указанными видами спорта? Сколько человек занимается только в одной спортивной секции?
При обследовании 39 студентов были получены следующие данные о числе студентов, изучающих различные языки: только немецкий – 10; немецкий, но не испанский – 15; немецкий и французский – 8; немецкий – 20; французский – 20; испанский – 14; французский и испанский – 5. Сколько студентов изучают все три языка и сколько студентов изучают только испанский язык?