Бинарные отношения и их свойства
Задание 6. Проверьте все свойства отношения Р, заданного на множестве Х, и укажите, если возможно, его вид.
Пример. Р: «х меньше у», Х - множество натуральных чисел.
Решение. Р не обладает свойством рефлексивности, так как ложно высказывание: «Для любого натурального числа верно, что а < а».
Р антирефлексивно, так как истинно высказывание: «Неверно, что для любого натурального числа выполняется а < а».
Р не обладает свойством симметричности, так как ложно высказывание: «Для любых натуральных чисел а и в, если а < в, то в < а».
Р антисимметрично, так как истинно высказывание: «Для любых натуральных чисел а и в, если а < в и в < а, то а = в».
Р транзитивно, так как истинно высказывание: «Для любых натуральных чисел а, в, c, если а < в и в < с, то а < с».
Р обладает свойством связанности, так как истинно высказывание: «Для любых натуральных чисел а, в а < в или в < а или а = в».
Отношение Р обладает свойствами антисимметричности, транзитивности. Следовательно, оно является отношением порядка.
Поскольку Р обладает еще и свойствами антирефлексивности и связности, то Р - отношение строгого линейного порядка.
Варианты.
Р: «прямая х перпендикулярна прямой у», Х – множество прямых плоскости;
Р: «х кратно у», Х – множество натуральных чисел;
Р: «х – делитель у», Х – множество натуральных чисел;
Р: «х больше у в 3 раза», Х – множество натуральных чисел;
Р: «прямая х пересекает прямую у», Х – множество прямых плоскости;
Р: «х и у учатся на одном факультете», Х – множество студентов института;
Р: «х длиннее у», Х – множество отрезков;
Р: «х больше у на 2», Х – множество натуральных чисел;
Р: «точки х и у симметричны относительно точки О», Х – множество точек плоскости;
Р: «точки х и у симметричны относительно прямой l», Х – множество точек плоскости.
Математические утверждения и их структура Задание 7. Докажите равенство, используя свойства логических операций и с помощью таблицы истинности.
Пример.
а в с
≡
_
_
_
_ |
В |
С |
А В |
А В С |
|
|
|
И |
И |
И |
И |
И |
Л |
Л |
И |
И |
И |
Л |
И |
Л |
Л |
Л |
Л |
И |
Л |
И |
Л |
И |
Л |
И |
И |
Л |
И |
И |
Л |
И |
И |
Л |
И |
И |
Л |
Л |
Л |
И |
Л |
И |
И |
Л |
И |
Л |
Л |
И |
И |
Л |
И |
|
Л |
И |
Л |
И |
И |
И |
И |
Л |
Л |
Л |
Л |
И |
И |
И |
И |
Т.к.
значения истинности высказываний а
в
с и
совпадают при всех возможных значениях
истинности высказываний а,
в, с,
то данные высказывания равносильны.
Второй
способ решения основан на законах
логических операций:
.
Использовались
законы:
.
Варианты.
А (В С) А В С;
(А В) В А В;
;
;
;
.