2. Теореми добутку ймовірностей незалежних та залежних подій.

Імовірність спільної появи двох незалежних подій дорівнює добутку імовірностей цих подій

Імовірність сукупної появи декількох подій, незалежних в сукупності, дорівнює добутку імовірностей даних подій

Імовірність появи хоча б однієї з подій  , незалежних в сукупності, дорівнює різниці між одиницею та добутком імовірностей протилежних подій 

Імовірність спільної появи двох залежних подій дорівнює добутку імовірності однієї з них на умовну імовірність іншої, вирахувану у припущенні, що перша подія вже відбулася.

3. Формула повної ймовірності.

Формула повної ймовірності дозволяє обчислити ймовірність деякої події через умовні ймовірності цієї події в припущенні якихось гіпотез, а також ймовірностей цих гіпотез.

Нехай дано імовірнісний простір  , і повна група подій  , таких що  . Хай   подія, що цікавить нас. Тоді

.

4. Числові характеристики випадкових дискретних величин.

Математичне сподівання.  Математичне сподівання є важливою характеристикою розміщення випадкової величини, його часто називають просто середнім значенням випадкової величини.

Розглянемо спочатку дискретну випадкову величину Х, що має всеможливі значення х₁, х₂, …х_n з ймовірностями р₁, р₂^,, …р_n.

Тоді математичне сподівання випадкової величини Х, яке позначають   визначається рівністю:

.          (1)

Якщо дискретна випадкова величина Х приймає нескінченну зліченну множину значень х₁, х₂, …х_n…  з ймовірностями р₁, р₂^,, …р_n…, то її математичне сподівання є:

.

Дисперсія і середнє квадратичне відхилення.

Для характеристики випадкової величини недостатньо знати лише її математичне сподівання, так як одному і тому ж математичному сподіванню може відповідати нескінченна множина випадкових величин з різними законами розподілу.

Значення випадкових величин завжди коливається біля середнього значення. Це явище називається розсіюванням величини біля її середнього значення.

Основними характеристиками розсіювання випадкової величини є середнє квадратичне відхилення.

Означення. Дисперсією D[X] випадкової величини X називається математичне сподівання квадрату відхилення цієї величини від її математичного сподівання:

.

Для дискретної випадкової величини дисперсія виражається сумою:

          (1)

а неперервної – інтегралом:

       (2)

Дисперсія випадкової величини є зручною характеристикою розсіювання, але вона має той недолік, що має розмірність квадрату випадкової величини.

Для більшої зручності вводиться характеристика, що має розмірність випадкової величини, а саме – корінь квадратний з дисперсії:

,          (3)

і її називають середнім квадратичним відхиленням, або стандартом.

Зауваження. Якщо брати математичне сподівання відхилення випадкової величини від її математичного сподівання, то отримуємо завжди:

.

Цей результат є цілком природним, він показує, що випадкова величина відхиляється від свого математичного сподівання як вправо, так і вліво, а тому додатні та від’ємні значення знищуються і він ніякої характеристики розсіювання не дає.