1.3 Резерв замещением

Структурная схема системы приведена на рис. 1.3.1. Отказ системы наступает при отказе нулевого элемента, затем первого, второго и т. д., т. е. всех (m +1) элементов. Это значит, что общее время до отказа системы равно сумме времен до отказа элементов

Рис. 1.3.1. Резервированная система с резервом замещением

Плотность суммы независимых случайных величин равна свертке плотностей слагаемых:

Вероятность безотказной работы системы в течение времени t:

На практике в большинстве случаев резервирование замещением осуществ­ляется однотипными системами, когда основная система и все резервные равнонадежны:

где f(t) — плотность распределения времени безотказной работы,

– i-кратная свертка плотностей, P(t)— вероятность безотказной работы каждой системы.

Таким образом,

Вероятности безотказной работы при условии, что ин­тенсивность отказов является величиной постоянной:

Среднее время безотказной работы:

T₀ — среднее время безотказной работы основной системы.

1.4 Скользящее резервирование

Рассмотрим мажоритарную систему т/п с резервом замещением (ненагруженным резервом). Такое резервирование называется скользящим (рис. 1.4.1).

Рис. 1.4.1. Скользящее резервирование

Сначала работают (п - т) основных элементов системы, а остальные т эле­ментов не работают (находятся в очереди на работу). При отказе любого ос­новного элемента он заменяется новым из числа резервных, который теперь выполняет функции основного элемента. При этом количество резервных элементов уменьшается. При отказе следующего основного элемента он опять заменяется новым из числа резервных и т. д. Отказ системы наступает, когда будут израсходованы все резервные элементы и откажет любой из ос­новных элементов.

Вероятность безотказной работы системы со скользящим резер­вом при условии, что все элементы системы имеют одинаковую надежность:

где f(t) — плотность распределения времени безотказной работы, P(t)— вероятность безотказной работы.

Если элементы системы имеют экспоненциальное распределение вероятно­стей времени до отказа с параметром , то вероятность безотказной работы системы со скользящим резервом:

Интенсивность отказов системы со скользящим резервом:

Если резерв существует ( ), то в момент времени t = 0 имеем а при длительной работе системы, когда получим

Таким образом, как и для постоянно включенного резерва, для резерва заме­щением при длительном функционировании системы отношение интенсив­ности отказов системы к интенсивности отказов одного элемента равно числу основных элементов системы.

Скользящее резервирование высокоэффективно. Система, состоящая из п элементов с одним резервным, имеет такую вероятность безотказной работы, как и дублированная система, число элементов которой равно 2(n-1). Дей­ствительно, при m = 1

что совпадает с вероятностью безотказной работы дублированной системы.

1.5 Надежность систем при общем и раздельном резервировании

Основными видами структурного резервирования являются общее и раздель­ное (поэлементное) при постоянно включенном резерве и по способу заме­щения. Метод резервирования, когда резервируется вся система в целом, на­зывается общим, а в случае, когда резервируются отдельные элементы систе­мы, называется раздельным. Структурные схемы этих видов резервирования (схемы расчета надежности) приведены на рис. 1.5.1.—1.5.4. На рисунках при­няты следующие обозначения: n — число элементов нерезервированной сис­темы, m — число резервных систем.

Рис. 1.5.1. Общее резервирование с постоянно включенным резервом

Рис. 1.5.2. Общее резервирование замещением

Рис. 1.5.3. Раздельное (поэлементное) резервирование с постоянно включенным резервом

Рис. 1.5.4. Раздельное резервирование замещением

Найдем зависимость времени безотказной работы системы от времени рабо­ты ее элементов. Пусть — случайное время до отказа элемента, стоящего в i-м ряду и j-й колонке, т. е. элемента с номером (i,j), — случайное время до отказа системы. Получим выражения, связывающие и для различных схем расчета надежности.

• Общее резервирование с постоянно включенным резервом (см. рис. 1.5.1.).

• Общее резервирование замещением (см. рис. 1.5.2.).

где

• Раздельное резервирование с постоянно включенным резервом (см. рис. 1.5.3.).

• Раздельное резервирование замещением (см. рис. 1.5.4.)