Распределение капитальных вложений

Задача о распределении капитальных вложений – это нелинейная задача распределения ресурсов между предприятиями одного производственного объединения или отрасли.

Предположим, что указано пунктов, где требуется построить или реконструировать предприятия одной отрасли, для чего выделена определенная сумма. При этом известен прирост мощности или прибыли для каждого предприятия, в зависимости от суммы капитальных вложений в это предприятие. Требуется найти такое распределение капитальных вложений между предприятиями, которое максимизирует суммарный прирост мощности или прибыли всей отрасли.

Примем следующие обозначения:

	Номер предприятия (j=1,2,…,n)
	Общая сумма капитальных вложений
	Сумма капитальных вложений в j-ое предприятие
	Прирост мощности или прибыли j-го предприятия, если оно получит xj денежных единиц капитальных вложений

Тогда, задача состоит в том, чтобы найти такие значения ,  , …,  , при которых значение суммарного прироста прибыли или мощности всей отрасли:

было бы наибольшим, при ограничении общей суммы: , причем будем считать, что все переменные принимают только целые неотрицательные значения, т.е.:

=0 или 1, или 2, или 3, …;

Эту задачу можно решить методом динамического программирования. Для этого необходимо ввести параметр состояния и функцию состояния :

	Некоторое количество предприятий, для которых определяется параметр и функция состояния ( )
	Сумма капитальных вложений, выделяемая нескольким предприятиям ( )
	Максимальный прирост прибыли или мощности на первых предприятиях, если они вместе получат капитальных вложений

Тогда, если из денежных единиц k-ое предприятие получит денежных единиц, то остаток денежных средств необходимо распределить между предприятиями от первого до так, чтобы был получен максимальный прирост прибыли или мощности . Следовательно, прирост прибыли или мощности k предприятий будет равен и нужно выбрать такое значение между 0 и , чтобы увеличение прибыли или мощности k предприятий было бы максимальным, т.е.:

, где .

Если же k=1, то:

Допустим, что производственное объединение состоит из четырех предприятий (n=4). Общая сумма капитальных вложений равна 700 денежных единиц (b=700), при этом суммы выделяемые предприятиям кратны 100 денежным единицам. Значения функций приведены в таблице 3:

Таблица 3.
	0	100	200	300	400	500	600	700
	0	42	58	71	80	89	95	100
	0	30	49	63	68	69	65	60
	0	22	37	49	59	68	76	82
	0	50	68	82	92	100	107	112

Для заполнения таблицы 5 необходимо в таблице 4 сложить значения функции со значениями и на каждой северо-восточной диагонали выбрать наибольшее число (отмечено звездочкой), указав соответствующие значение :

Таблица 4.
		0	100	200	300	400	500	600	700
		0	42	58	71	80	89	95	100
0	0	0	42*	58	71	80	89	95	100
1 00	30	30	72*	88	101	110	119	125
200	49	49	91*	107*	120	129	138
300	63	63	105	121*	134*	143*
400	68	68	110	126	139
500	69	69	111	127
600	65	65	107
700	60	60

Таблица 5.
	0	100	200	300	400	500	600	700
	0	42	72	91	107	121	134	143
	0	0	100	200	200	300	300	300

Для заполнения таблицы 7 необходимо в таблице 6 сложить значения функции со значениями и на каждой северо-восточной диагонали выбрать наибольшее число (отмечено звездочкой), указав соответствующие значение :

Таблица 6.
		0	100	200	300	400	500	600	700
		0	42	72	91	107	121	134	143
0	0	0	42*	72*	91	107	121	134	143
1 00	22	22	64	94*	113*	129*	143	156
200	37	37	79	109	128	144*	158*
300	49	49	91	121	140	156
400	59	59	101	131	150
500	68	68	110	140
600	76	76	118
700	82	82

Таблица 7.
	0	100	200	300	400	500	600	700
	0	42	72	94	113	129	144	158
	0	0	0	100	100	100	200	200

Теперь, в таблице 8, необходимо сложить значения функции со значениями , но только для значения , т.е. заполнить только одну диагональ:

Таблица 8.
		0	100	200	300	400	500	600	700
		0	42	72	94	113	129	144	158
0	0								158
1 00	50							194
200	68						197*
300	82					195
400	92				186
500	100			172
600	107		149
700	112	112

Наибольшее число этой диагонали показывает максимально возможный суммарный прирост прибыли всех четырех предприятий данного производственного объединения, при общей сумме капитальных вложений в 700 денежных единиц, т.е.:

денежных единиц

причем четвертому предприятию должно быть выделено:

денежных единиц

Тогда третьему предприятию должно быть выделено (см. табл. 7.):

денежных единиц

второму предприятию должно быть выделено (см. табл. 5.):

денежных единиц

на долю первого предприятия остается:

денежных единиц

Таким образом, наилучшим является следующее распределение капитальных вложений по предприятиям:

которое обеспечивает производственному объединению наибольший возможный прирост прибыли:

денежных единиц