21 Вопрос

Общее решение системы уравнений в векторной форме

СЛАУ (mxn)

АХ=В; А= (*)

X= B=

Пусть систума (*)- совместная, а rang(А)= rang (A|B)/ Система вида АХ= 0 (**) называется приведенной однор. Системой ур-й для системы (*)

Тогда решение сист.(*) мб представ. В виде : (***)

Док-во:

Покажем, что рещение (***) явл. Решением (*)

1. А*Х= А* ( ) = А*Х+ = В

Покажем, чо любое произв. Решение (*) можно представить в виде (***)

2. Пусть L- произв.решение (*) => A*L=B

Пусть К-произв.частное решение сист.(*) => АК=В

Сост.разность : L-K: A( L-K)= AL- AK= B-B=0

L-K- произв.реш.системы (**) => L-K можно разложить по векторам L-K=

L= K+

22 Вопрос

Собственные значения и собственные векторы матрицы.

Собственным значением матрицы А назыв. Такое число , для кот.выполняется след.рав-ва: , где

- характеристическое уравнение

Множество всех собственных значений матрицы А совпадают с множеством всех решений характер.урав-я

Собственные векторы:

- это собств. Вектор мат.А , отвечающий значению , если для него выполн.рав-во: (А- Е) =0 – это матричный вектор, запись системы однор.ур-й, кот.обладает нетрив.решением, т.к.определитель этой матрицы=0

- это усл.сущетвования нетрив.решения системы однор.ур-я квадратного вида. Т.о., множество собственных векторов мат.А совпадает с множеством вида:

23 Вопрос

Свойства собственных секторов матрицы.

24 Вопрос

Ортогональная и ортонормированная системы векторов.

1. Векторы А1, А2- ортогональные, если их скалярное произведение = 0

2. Система векторов А1, А2…Аm- ортогональная, если любые два вектора системы ортогональны м/у собой

3. Векторы явл.ортогонормированными, если они единичной длины и попарно ортогональны м/у собой.

4. Если мы имеем - ортогон.системы векторов, то - ортогонормированы.

Каждую линейно независ.систему можно преобразовать в ортогональную.

В основе построения лежит ортогон.составляющ.вектора относительно ортогон. Системы векторов.

Пусть В1, В2…Вр- ортогональн.векторы.

А - ортогонал.составл.вектора А относительно ортогон.системы векторов

А - ортогон.по отношению к вектору В

25 Вопрос

Ортогонализация системы векторов

- система лин.независ.векторов.

1) А1=В1

26 Вопрос

Собственные векторы симметрической матрицы.Алгоритм построения ортонормированного базиса.

Квадрат.матрица А назыв. симметрическй, если для всех i и j выполн.рав-во:

А= R

B=

R=

Собственные векторы симметр.матрицы, отвечающие различным собственным значениям всегда ортогональные.

Ортогональные матрицы0 матрицы квадратного типа Q, при условии, что

Утверждение: Симметр.матрица А мб приведена к диагональному виду след.образом:

Процесс нахождения ортогональной матрицы Q:

1. Нахождение собственных векторов симметр.матрицы А

2.Ортонормир-е собствен.векторов

3.Нормирование векторов

4.Строем матрицу Q, столбцами кот.явл.ортонормир.векторы

27

28

29 Вопрос

Приведение квадратной формы к каноническому виду.

Рассмотрим некоторое линейное преобразование А с матрицей . Это симметрическое преобразование можно записать в виде: y1 = a11x1 + a12x2 y2 = a12x1 + a22x2 где у1 и у2 – координаты вектора  в базисе .     Очевидно, что квадратичная форма может быть записана в виде Ф(х1, х2) = х1у1 + х2у2. Как видно, геометрический смысл числового значения квадратичной формы Ф в точке с координатами х1 и х2 – скалярное произведение .

  Если взять другой ортонормированный базис на плоскости, то в нем квадратичная форма Ф будет выглядеть иначе, хотя ее числовое значение в каждой геометрической точке и не изменится. Если найти такой базис, в котором квадратичная форма не будет содержать координат в первой степени, а только координаты в квадрате, то квадратичную форму можно будет привести к каноническому виду. При переходе к новому базису от переменных х1 и х2 мы переходим к переменным  и . Тогда: Выражение  называется каноническим видом квадратичной формы. Аналогично можно привести к каноническому виду квадратичную форму с большим числом переменных. Теория квадратичных форм используется для приведения к каноническому виду уравнений кривых и поверхностей второго порядка.