12. Системный подход и корреляционный анализ.

Вычислим коэффициент корреляции Пирсона [2]:

(9)

Все величины, кроме дисперсии s_у² и соответствующего среднего квадратического отклонения s_у для «выхода», нам известны. Для их вычисления воспользуемся табл. 1 и формулой (1):

Записывая округлённые величины у_i (cм. табл.1) в тыс. грн. и учитывая, что получаем непосредственно из формулы (1):

s_у² = ((0,33 – 0,57)² + …+ (0,70 – 0,57)²) / 25 = 0,04.

Извлекая корень, получаем стандартное отклонение «выхода» s_у = 0,2.

Из формулы (9) находим коэффициент корреляции r_ху = 0,912.

Вывод 11: найденное значение коэффициента r_ху = 0,912 свидетельствует о сильной корреляции между «входом» и «выходом».

Проверим с помощью критерия Стьюдента значимость найденного коэффициента корреляции. Вычислим T-статистику Стьюдента [2]:

В нашем случае T = 10,66. Критическое значение этой статистики Т^* = 2,069 [2, с.493] для риска 5%. Поскольку Т >> Т^*, то, как и следовало ожидать, коэффициент корреляции является значимой величиной, существенно отличающейся от нуля.

Корреляционным отношением (или мерой обусловленности) называют [2] величину η = r²_ху = 0,848. Её смысл: 84,8% значений «выхода» Y коррелируют со значениями «входа» Х.

13. Экономический смысл уравнения регрессии.

Вычислим осреднённый коэффициент эластичности . В нашем случае

Вывод 12: при изменении значений «входа» в среднем на 1% «выход» увеличится в среднем на 0,8%.

14. Неизбежные потери точности при пользовании интервальным рядом.

Рассмотрим решение пунктов 11 и 12 для интервального ряда.

В этом случае придётся считаться с изменением дисперсий и ковариации. Например, дисперсия «входа»

будет совпадать с межгрупповой дисперсией: Д_х^*= 6,9, а не с суммарной дисперсией, равной 7,54.

Аналогично изменится ковариация:

Она станет равной 0,49 (вместо 0,54).

Аналогично дисперсия «выхода» будет равна 0,039 (вместо 0,04). Всё это изменит коэффициент вариации: r_ху = 0,932 (вместо 0,912).

Таким же образом в формуле (4) при вычислении асимметрии корректнее было бы пользоваться не интервальным, а исходным рядом, который является несравненно более громоздким.

Итоговые выводы в рамках системного подхода:

• метод группировок (или классов) позволил от громоздкой табл. 1 для исходного вариационного ряда (как системы) перейти к компактной и наглядной табл. 2 для интервального ряда, состоящего из 4-х подсистем;

• однако при таком переходе оказалась потерянной точность вычислений (особенно в случае корреляционно-регрессионного анализа), что необходимо принимать во внимание для ответственных работ, требующих высокой точности;

• при этом среднее значение системы, состоящей из нескольких подсистем, как и следовало ожидать, является устойчивой величиной, не зависящей от процедуры осреднения;

• в свою очередь, дисперсия системы, состоящей из нескольких подсистем, является величиной, не зависящей от процедуры осреднения, только лишь при учёте внутригрупповой составляющей Д_х;

• аналогично, при вычислении асимметрии по формуле (4) корректнее было бы пользоваться не интервальным, а исходным рядом, теряя при этом простоту вычислений;

• системные структурные средние (мода и медиана), в отличие от среднего значения и дисперсии, существенно зависят от процедуры их нахождения.