Задачи для самостоятельного решения.

9. В команде 16 спортсменов, из которых 6 - перворазрядники. Наудачу выбирают двух спортсменов. Составьте закон распределения числа перворазрядников среди выбранных.

10. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составьте закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте.

Ответ:

	0	1	2	3
P	0,729	0,243	0,027	0,001

11. Случайная величина принимает значения 7, -2, 1, -5, 3 с равными вероятностями. Найти M(X).

Ответ: 0,8.

12. Случайная величина имеет закон распределения

	2	3	4	5
	0,3	0,1	0,5	0,1

Найдите и .

Ответ:11,8; 4,16.

13. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины , заданной законами распределения:

X	4,3	5,1	10,6
P	0,2	0,3	0,5

	131	140	160	180
P	0,05	0,1	0,25	0,6

Ответ: а) 8,545; 2,923; б) 249; 15,8.

14. Закон распределения дискретной случайной величины задан в табличной форме:

	-3	2	3	5	8	12	18	20	25
	2а	0,1	2а	0,1	3а	0,1	4а	0,1	5а

Найти . Построить функцию распределения и начертить ее график. Вычислить ; ; .

Ответ: ; ; ; .

15. Число очков, выбиваемых при одном выстреле каждым из двух стрелков, имеет соответственно закон распределения:

	8	9	10
	0,4	0,1	0,5

	8	9	10
	0,1	0,6	0,3

Какой из стрелков стреляет лучше?

Ответ: второй.

16. Имеется 5 урн. В каждой из них содержится по 7 красных и 3 синих шара. Из каждой урны наудачу берут по одному шару. Требуется : 1) построить ряд распределения вероятностей дискретной случайной величины - появление числа красных шаров среди пяти извлеченных; 2) вычислить ; ; .

Ответ: 1)

	0	1	2	3	4	5
	0,0024	0,0283	0,1323	0,3087	0,3602	0,1681

2) ; ; .

17. Стрелок, имея три патрона, стреляет до первого попадания в цель. Вероятность попадания при каждом выстреле 0,7. Найдите закон распределения с.в. X - числа произведенных выстрелов.

Ответ:

	1	2	3
	0,7	0,21	0,09

18. В партии из шести деталей имеется 4 стандартных. Наудачу отобраны 3 детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины - числа стандартных деталей среди отобранных.

Ответ:

	1	2	3
P

19. Случайная величина подчинена закону распределения с плотностью , причем

Найти коэффициент , построить график плотности распределения , найти вероятность попадания в промежуток .

Ответ: , .

20. Случайная величина задана интегральной функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания величина примет значение, заключенное в интервале .

Ответ: 0,25.

21. Случайная величина на всей оси задана интегральной функцией . Найти вероятность того, что в результате испытания величина примет значение, заключенное в интервале .

Ответ: 0,25

22. Дана интегральная функция непрерывной случайной величины

Найти дифференциальную функцию .

23. Случайная величина задана интегральной функцией

Найти вероятность того, что в результате испытания примет значение: а) меньше 0,2; б) меньше трех; в) не меньше трех; г) не меньше пяти.

Ответ: а) 0; б) 0,5; в) 0,5; г) 0.

24. Дана дифференциальная функция непрерывной случайной величины

Найти интегральную функцию .

25. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины , заданной законом распределения

	0,21	0,54	0,61
P	0,1	0,5	0,4

Ответ: ; .

26. Найти математическое ожидание случайной величины , если известно, что , .

Ответ: 30.

27. Случайная величина задана дифференциальной функцией в интервале , вне этого интервала . найти математическое ожидание величины .

Ответ: .

28. В партии из 10 деталей содержится 3 нестандартных. Наудачу отобраны 2 детали. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины - числа нестандартных деталей среди отобранных.

Ответ: .

29. Случайная величина задана дифференциальной функцией (распределение Лапласа) . Найти математическое ожидание величины .

Ответ: 1.

30. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины , заданной интегральной функцией

Ответ: ; .

31. Найти дисперсию случайной величины , заданной интегральной функцией

Ответ: .

32. Производится три выстрела с вероятностями попадания в цель 0,4; 0,3; 0,6, соответственно. Найдите среднее число попаданий.

Ответ: 1,3.

33. Найдите математическое ожидание суммы числа очков, которые выпадают при бросании двух игральных костей.

Ответ: 7.

34. Найти дисперсию случайной величины - числа появлений событий А в пяти независимых испытаниях, если вероятность появления события А в каждом испытании равна 0,2.

Ответ: 0,8.

35. Найти дисперсию случайной величины - числа попаданий при двух независимых выстрелах, если вероятность попаданий при каждом выстреле постоянна и .

Ответ: 0,48.

36. Игральная кость бросается 15 раз. Сколько раз, в среднем, может выпасть 4 очка?

Ответ: 2,5.

37. Производятся независимые испытания с одинаковой вероятностью появления события А в каждом испытании. Найдите эту вероятность, если дисперсия числа появления события А в трех независимых испытаниях равна 0,63.

Ответ: 0,7 или 0,3.

38. Устройство состоит из 4 элементов. Вероятность отказа любого элемента за время опыта равна 0,2. Найти математическое ожидание числа опытов, в каждом из которых откажет ровно один элемент, если производится 100 независимых опытов.

Ответ: 40,96.

39. Дискретная случайная величина может принимать только два значения: и , причем . Известны вероятность ; математическое ожидание и дисперсия . Найти закон распределения этой случайной величины.

Ответ:

	3	4
P	0,7	0,3

40. Круглая мишень разделена на 8 равных секторов, пронумерованных числами 1,2,3,4,5,6,7,8. Мишень вращается вокруг центра. Стрелок производит выстрел по мишени. При попадании в k-й сектор получает k рублей ( ) . При достаточно большой скорости вращения мишени попадания в различные секторы равновозможны. Можно ли считать игру выгодной для стрелка, если право одного выстрела стоит 5 рублей?

Ответ: нет.