§4. Случайные величины Решение типовых задач.

1. Производится последовательное испытание 5 приборов на надежность. Каждый следующий прибор испытывается только если предыдущий надежен. Найти закон распределения числа испытаний приборов, если вероятность выдержать испытание для каждого из них равна 0,9.

Для составления закона распределения случайной величины надо найти ее возможные значения и их вероятности. Случайная величина - число испытаний приборов. Ее возможные значения: , , , , . Это дискретная случайная величина. Найдем вероятности возможных значений. Случайная величина примет значение , если первый прибор отказал. Вероятность этого события . Случайная величина примет значение , если первый прибор надежен, а второй нет. Тогда . Аналогично, , . Пять приборов будут испытываться только в том случае, если первые четыре оказались надежными, т.е. .

Запишем ряд распределения случайной величины :

	1	2	3	4	5
P	0,1	0,09	0,081	0,0729	0,6561

▲

2. В урне 5 белых и 25 черных шаров. Вынули 1 шар. Найти ряд распределения, функцию распределения числа вынутых белых шаров и построить интегральную кривую распределения случайной величины.

Случайная величина - число вынутых белых шаров может принимать возможные значения: , . , если вынутый шар окажется черным, - если белым. Найдем вероятности этих возможных значений. Т.к. всего в урне 30 шаров, то

, .

Ряд распределения имеет вид:

	0	1
P

По определению функция распределения есть вероятность того, что случайная величина примет значение меньше :

.

Поэтому, если , то , т.е. .

Если , то .

Аналогично, при , случайная величина может принимать только значение или ,т.е.

.

Итак,

Построим интегральную кривую, т.е. график функции (рис.4.4)

Рис.4.4

Функция разрывна, т.к. случайная величина - дискретная. ▲

1. Может ли являться функцией распределения следующая функция:

?

Построим график функции (рис.4.5)

Рис.4.5

Из графика видно, что среди значений функции есть значения, большие 1, чего быть не может, т.к. значения есть вероятности некоторых событий. Следовательно, данная функция не может являться функцией распределения.

2. Дана функция

.

При каких значениях эта функция может быть функцией распределения?

На отрезке функция является возрастающей, поэтому наибольшее значение она примет при : .

Т.к. - это вероятность события, то ; . ▲

3. Случайная величина имеет следующую функцию распределения:

Требуется:

1. найти плотность распределения вероятностей ;

2. построить графики функций и ;

3. найти вероятность попадания случайной величины на отрезок .

а) Для отыскания плотности распределения воспользуемся тем, что , получим

б) Графики функций и имеют следующий вид (рис.4.6):

Рис.4.6

в) Событие можно представить в виде суммы событий и :

,

т.к. функция непрерывна в точке , то . Поэтому

Этот же результат можно получить с помощью функции :

▲

4. Случайная величина имеет следующую плотность распределения вероятностей:

Определить:

1. коэффициент ;

2. функцию распределения .

а) Т.к. функция может принимать только неотрицательные значения, то . Воспользуемся также тем, что

.

Так как функция при , то

Следовательно, , .

б) Т.к.

то

▲

5. Дана функция

Что вероятнее: попадание случайной величины в интервал или ?

Находим вероятность попадания случайной величины в заданные интервалы:

Вывод: вероятнее, что случайная величина попадет в интервал . ▲

6. Подводная лодка выпускает три ракеты (делая 3 выстрела) по одной цели. Вероятность попадания ракеты в цель при каждом выстреле равна 0,8. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение числа попаданий.

Пусть случайная величина - число попаданий в цель. Ее возможные значения: 0, 1, 2, 3. Найдем вероятности возможных значений этой дискретной случайной величины по формуле Бернулли:

где ; ; .

Ряд распределения имеет вид:

	0	1	2	3
	0,008	0,096	0,384	0,512

Найдем математическое ожидание

Дисперсию вычислим по формуле

где .

Найдем среднее квадратическое отклонение

.

Ответ: . ▲

7. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины по известной функции распределения:

.

Т.к. плотность распределения вероятностей случайной величины имеет вид

(см. задачу 4.5). Согласно формуле

,

находим

Далее

Ответ: ▲

8. Дискретная случайная величина может принимать только два значения: и , причем . Известны вероятность , математическое ожидание и дисперсия . Найти закон распределения этой случайной величины.

Т.к. , то . Имеем закон распределения:

P	0,5	0,5

Осталось найти и . Т.к. , то . Кроме того, воспользуемся формулой

.

Имеем ; .

Закон распределения таков:

P	0,5	0,5

Следовательно, .

Имеем систему уравнений:

Из второго уравнения находим или . Тогда с учетом первого уравнения получаем два решения системы:

и

Т.к. по условию , то получаем искомый ряд распределения:

		4
	0,5	0,5

▲