4.1.2. Интегральная форма уравнений

На практике чаще используют уравнения межфазного переноса субстанций в интегральной форме, получающиеся осреднением локальных уравнений по отдельному участку или по всей межфазной поверхности F:

, (4.15)

, (4.16)

. (4.17)

В общем случае, при одновременном изменении кинетического коэффициента и движущей силы по межфазной поверхности, такая запись является условной, так как невозможно разделить осреднение кинетического коэффициента и движущей силы (интеграл от произведения не равен произведению интегралов). В крайнем случае, можно провести независимое осреднение одной величины, но тогда осредненное значение второй будет зависеть от характера изменения и способа осреднения первой. Покажем это на примере теплоотдачи.

Осредним независимым образом коэффициент теплоотдачи, тогда средняя разность температур будет включать зависимость (F) из (4.16):

, (4.18);

, (4.19)

если же независимо усредним движущую силу

, (4.20)

то . (4.21)

Таким образом, при использовании уравнений массо-, тепло- и импульсоотдачи в интегральной форме необходимо следить за корректным использованием осредненных кинетических коэффициентов и движущих сил, совокупность которых не должна противоречить исходным уравнениям (4.15)-(4.17). Так, например, средние коэффициенты теплоотдачи обычно определяются из опыта по соотношению (4.21), в котором в качестве средней движущей силы используется не истинное ее значение из (4.20), а среднеарифметическая или среднелогарифмическая величина разности температур на входе в аппарат и на выходе из него. При этом могут получаться два различных значения осредненного коэффициента теплоотдачи. Каждое из них необходимо применять в (4.16) с соответствующим образом найденной средней движущей силой. Кроме того, следует помнить, что величина , найденная по (4.21), зависит от характера изменения движущей силы.

Положение упрощается, если одна из величин не меняется по межфазной поверхности. В этом случае ее можно вынести из под знака интегрирования в уравнениях (4.15)-(4.17) и усреднить лишь вторую. Так, если коэффициент теплоотдачи не меняется вдоль границы раздела фаз, то = =const, а однозначно находится из (4.20). Если же = =const, то определяется по (4.18). Соотношения, аналогичные (4.18)-(4.21), можно получить и для процессов массо- и импульсоотдачи.

4.1.3. Влияние структуры потока в аппарате на движущую силу процесса

На характер изменения движущей силы вдоль границы раздела фаз и соответственно величину средней движущей силы большое влияние оказывает структура потока. Рассмотрим это влияние на примере процесса стационарной теплоотдачи. Допустим, что температура Т^г и коэффициент теплоотдачи  не меняются вдоль поверхности раздела фаз, тепловой пограничный слой достаточно тонкий и содержит малое количество вещества по сравнению с ядром потока, вещество не меняет свое фазовое состояние.

Для аппарата, структура потока в котором близка к модели идеального смешения (аппарат с мешалкой), температура в ядре потока вдоль всей поверхности теплообмена будет одинакова и равна температуре выхода Т^я=Т^я_вых, которую можно найти из совместного решения уравнений теплового баланса и теплоотдачи. Движущая сила процесса теплоотдачи не будет изменяться вдоль межфазной поверхности:

, (4.22)

, (4.23)

, (4.24)

где G - массовый расход фазы, с_р - удельная теплоемкость; Т^я_вх, Т^я_вых - температура ядра фазы на входе в аппарат и выходе из него.

Рассмотрим аппарат, структура потока в котором близка к модели идеального вытеснения (турбулентный поток в трубе с большим отношением L/d). Движущая сила теплоотдачи будет изменяться вдоль поверхности теплообмена. Запишем уравнение теплового баланса для элементарного участка поверхности dF, а затем проинтегрируем его при G, с_р,  = const:

, (4.25)

, (4.26)

, (4.27)

. (4.28)

Среднее значение движущей силы находится в соответствии с (4.20)

. (4.29)

Проделав ряд математических преобразований, можно привести соотношение (4.29) к виду

(4.30)

или . (4.31)

Последнее выражение носит название среднелогарифмической разности температур и часто применяется на практике. Однако необходимо помнить, что справедливо оно лишь для модели идеального вытеснения при неизменных теплофизических свойствах среды и коэффициенте теплоотдачи по межфазной поверхности. Можно показать, что при G, с_р, Т^г= const для модели идеального вытеснения использование среднелогарифмической разности температур в (4.21) дает одинаковые значения по (4.21) и (4.18) вне зависимости от характера изменения  и Т^я по межфазной поверхности. Однако T_ср, найденная при этом по (4.20), не будет совпадать со среднелогарифмической величиной, если  const.

Использование диффузионной или ячеечной модели структуры потока приводит к более сложным соотношениям для Т^я(F) и . Из рис. 4.2 видно, что максимальную среднюю движущую силу и, соответственно, эффективность работы теплообменного аппарата обеспечит структура потока, соответствующая МИВ, а минимальную - соответствующая МИС. Диффузионная и ячеечная модели дают промежуточные результаты.

Рис. 4.2. Профили температуры в ядре потока вдоль поверхности теплоотдачи для различных моделей структуры потока в аппарате