Положим далее, что генератор с гармонической эдс

(9.4)

создает в стационарном состоянии в цепи ток

, (9.5)

где - круговая частота колебаний ЭДС и тока; Т – период колебаний; φ– угол сдвига фазы тока относительно фазы ЭДС; – амплитуда ЭДС; I₀ – амплитуда тока.

Найдем, чему равны амплитуда I₀ и сдвиг фазы φ тока, если известны параметры цепи R, С, L и уравнение для ЭДС (9.4). Одновременно определим, какой вид имеет величина Z, равная отношению амплитуды ЭДС к амплитуде тока: . Эта величина (по аналогии с законом Ома для замкнутой цепи постоянного тока) называется полным сопротивлением цепи переменного тока.

На основании второго правила Киргофа для контура (рис.9.1, а) можем записать или (рис.9.1,б)

, (9.6)

т.е. сумма напряжений на отдельных элементах контура равна в каждый момент времени внешней ЭДС, действующей в контуре.

Учитывая соотношения (9.1) – (9.3), имеем

. (9.7)

Подстановка в уравнение (9.7) выражений (9.4), (9.5) и выполнение операций интегрирования и дифференцирования приводит это уравнение к виду

.

Используя далее соотношения

окончательно получим

(9.8)

Из уравнения (9.8) можно сделать ряд выводов.

Выпишем из этого уравнения выражения для напряжений U_R ,U_C ,U_L и рассмотрим их совместно с выражением (9.5) для тока I:

, где ;

, где (9.9)

, где

Сравнивая фазы напряжений U_R , U_C и U_L с фазой тока I, видим, что:

1) напряжение на резисторе U_R совпадает по фазе с током I (9.5);

2) напряжение на емкости U_C отстает по фазе от тока I на угол ;

3) напряжение на индуктивности U_L опережает по фазе ток I на угол .

Далее найдем отношения амплитуд напряжений U_0R , U_0С , U_0L к амплитуде тока I₀:

; (9.10)

Формулы (9.10) определяют величины, которые называются соответственно активными, реактивным емкостным и реактивным индуктивным сопротивлениями. Емкостное сопротивление обозначается через Хс, индуктивное – через X_L . Из формул (9.10) следует, что активное сопротивление цепи переменного тока равно сопротивлению цепи для постоянного тока, т.е. омическому сопротивлению R, реактивные же сопротивления:

(9.11)

Перейдем к нахождению выражений, определяющих амплитуду тока I₀, сдвиг по фазе φ тока относительно ЭДС и полное сопротивление Z цепи, изображенной на рис.9.1.

Уравнение (9.8) позволяет решить эту задачу, при этом методы решения могут быть различные. Воспользуйтесь графическим способом представления гармонических колебаний – методом векторных диаграмм. В этом методе гармоническим величинам (напряжениям, токам) сопоставляются вращающиеся векторы. Для этого на плоскости выбирают произвольное начало координат О и проводят ось X. Изучаемую гармоническую величину изображают вектором, построенным из начала координат. Длина вектора равна (в выбранном масштабе) амплитуде гармонической величины, а угол между вектором и осью X равен углу начальной фазы. Вектор равномерно вращается вокруг точки О с угловой скоростью ω в направлении против часовой стрелки. При этом проекция вектора на ось X в любой момент времени равна мгновенному значению гармонической величины, изменяющейся со временем по закону косинуса.

В соответствии со сказанным левую часть уравнения (9.8) можно рассматривать как сумму проекций векторов, изображающих напряжения U_R, U_C и U_L, а правую часть – как проекцию вектора, изображающего суммарное напряжение

U = ε = U_R +U_C+U_L. Поскольку при сложении векторов сумма проекций слагаемых равна проекции суммы, то можно найти геометрическую сумму векторов, изображающих напряжения U_R, U_C, U_L и приравнять эту геометрическую сумму вектору, изображающему напряжение U = . Другими словами, вместо алгебраического равенства (9.8) можно рассматривать векторное равенство

(9.11)

ч то значительно упрощает нахождение амплитуды I₀ и сдвига фаз φ. На рис.9.2, а,б построены векторные диаграммы для момента времени t = 0, соответствующие уравнениям (9.8) и (9.12).

а) б)

Рис. 9.2.

Из рис. 9.2, б следуют соотношения:

; ,

откуда

; (9.13)

; (9.14)

. (9.15)

Видим, что колебания тока в цепи отстают по фазе от колебаний ЭДС на угол φ, зависящий от частоты и определяемый согласно (9.14). Напряжение U во внешней цепи, содержащей последовательно соединенные R, С и L. опережает по фазе ток на угол φ, определяемый выражением (9.14). Полное сопротивление цепи Z, в соответствии с(9.15), также зависит от частоты и может быть записано в виде

, (9.16)

где Х = Х_L – Х_С - полное реактивное сопротивление цепи. Из формулы (9.16) следует, что активное и реактивное сопротивления цепи складываются геометрически.

В работе исследуется электрические процессы в цепях, состоящих из следующих последовательно соединенных элементов: а) двух резисторов с сопротивлениямиr R₁ и R₂ (цепь RR, рис. 9.3, а); б) резистора R₂ и конденсатора С (цепь RС, рис. 9.3, б); в) резистора R₂ и катушки индуктивности L (цепь RL, рис.9.3, в).

Рис. 9.3.

Основным параметром, характеризующим изучаемые цепи, является коэффициент передачи цепи К, представляющий собой отношение амплитуды напряжения на выходе цепи U₀₁ к амплитуде напряжения на ее входе U₀:

. (9.17)

Напряжение на выходе цепи U₁ равно падению напряжения на резисторе R₂:

U₁ = I R₂ (9.18)

т.е. прямо пропорционально току в цепи I и находится в одинаковой с ним фазе. На основании соотношения (9.18) коэффициент передачи цепи можно записать в виде

. (9.19)

Из соотношения (9.18) следует, что для измерения угла сдвига фаз между током в цепи I и входным напряжением U достаточно измерить угол сдвига фаз между напряжения U₁ и U.

Для схем, изображенных на рис.9.3, найдем аналитически вид выражений для коэффициента передачи цепи К и угла сдвига фаз φ. Для этого воспользуемся формулами (9.13), (9.14) и (9.19), подставляя в них соответствующие каждой схеме значения сопротивлений, напряжений и токов.

1. Цепь RR: R= R₁ + R₂; Х_L =0; Х_С =0; ₀ = U₀.

Из (9.13)

. (9.20)

Из (9.14)

φ = 0. (9.21)

Из (9.19) и (9.20)

. (9.22)

2. Цепь RС: R = R₁; Х_L = 0; ; .

Из (9.13)

. (9.23)

Из (9.14)

. (9.24)

Из (9.19) и (9.23)

. (9.25)

При высоких частотах :

; ; . (9.26)

Этот результат соответствует тому, что в цепи закорочен резистор R₂.

3. RL: R = R₂; Х_L= ωL; Х_с=0; ε₀=U₀.

Из (9.13)

. (9.27)

Из (9.14)

. (9.28)

Из (9.19) и (9.27)

. (9.29)

При высоких частотах (ω → ∞):

; ; .

Это соответствует тому, что в цепи закорочен резистор R₂.

При низких частотах (ω → 0) ; ; .

Это соответствует тому, что в цепи закорочена индуктивность L.

Полученные результаты могут быть использованы для экспериментального определения параметров цепей R, С, L.

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА.

На рис. 9.4, 9.5 приведены электрическая и монтажная схема:

1. ФПЭ – 09/ПИ - кассета.

2. РQ – генератор.

3. РО - осциллограф.

4. ИП - источник питания.

В кассете ФПЭ - 09/ПИ собраны изучаемые электрические цепи (рис. 9.5). В ней находится также коммутатор А, применение которого позволяет наблюдать на экране однoлучевого осциллографа одновременно два синусоидальных сигнала. Напряжение со входа изучаемой цепи подается на «Вх1» коммутатора, а напряжение с выхода изучаемой цепи – на «Вх2» коммутатора. С выхода коммутатора исследуемые напряжения подаются на выход Y осциллографа.

Рис. 9.4.

Рис. 9.5.

Генератор РQ является источником гармонической ЭДС. Осциллограф РО служит для измерения амплитуд напряжений на входе и выходе цепи, а также для измерения угла сдвига фаз между током в цепи и входным напряжением.

Источник питания ИП предназначен для питания коммутатора.

Параметры установки:

R₁ = 200  5% Ом; R₂ = 51  5% Ом; C₁ = 0,047  20% мкФ; L = 10010% Гн.