Комплексні числа. Алгебраїчна форма запису комплексного числа.
Під час розв'язання багатьох задач, рівнянь, виникла потреба добувати квадратний корінь з від'ємних чисел. Квадратні рівняння з від'ємним дискримінантом у множині, дійсних чисел розв'язків не мають. Постає питання про розширення множини дійсних чисел. Ввели нове число і для якого справедлива рівність:
і2=-1.
Тоді,
Розв'язуючи рівняння х2-4х+13=0 одержимо:
Означення: Комплексними числами називають числа виду а+bі (а,b - дійсні числа, і - уявна одиниця), для яких введено поняття рівності та операції додавання і множення:
а) два комплексні числа а1+b1і та а2+b2і рівні тоді і тільки тоді, коли а1=а2, b1=b2;
б) сумою чисел ai+b1і та а2+b2і називають число (а1+ a2)+(b1+b2) і.
в) добутком чисел а1+b1i та а2+b2і називають число (a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i.
Комплексні числа часто позначають однією буквою, наприклад z.
z = a + bi - алгебраїчна форма комплексного числа, а - дійсна його частина, b - коефіцієнт при уявній, (і - перша буква латинського слова imaginaries - уявний).
Додавання і множення комплексних чисел підлягає тим самим законам, що й додавання і множення дійсних чисел.
Комутативність додавання:
z1+z2=z2+z1.
Асоціативність додавання:
(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
Для будь яких комплексних чисел z1 і z2 існує таке комплексне число z, що z1+ z= z2. Це число називається різницею чисел z1 і z2, його позначають:
z2 – z1
Комутативність множення:
z1z2=z2z1
Асоціативність множення:
(z1z2) z3= z1(z2 z3).
Для будь яких комплексних чисел z1
0+0i
iснує
таке
число
z,
що
z1
z=
z2.
Це
число називається
часткою
комплексних
чисел z2
і
z1;
його
позначають
.
Ділення
на комплексне число 0+0і, яке
називається нулем, неможливе.
Дистрибутивність:
z1(z2+ z3)= z1 z2 + z1 z3.
Числа a + bi та a - bi, дійсні частини яких рівні , а коефіцієнти при уявних частинах рівні за модулем, але протилежні за знаком, називають спряженими.
Множина дійсних чисел є частиною (підмножиною) множини комплексних чисел.
Геометрична інтерпретація комплексних чисел
Зображають комплексні числа точками координатної площини, яку при цьому називають комплексною.
Кожному
комплексному числу а +
bi
поставлено
у відповідність точку М (а; b)
координатної площини, абсциса якої
дорівнює дійсній частині комплексного
числа, а ордината -
коефіцієнту
уявної частини. Зручно зображати
комплексне число z
= a+bi
як
вектор 
.
y
b
a
O (0;0)
x
M (a; b)
Дії над комплексними числами в алгебраїчній формі.
Дано комплексні числа z1=-1+6i та z2=2+5i. Знайти суму z1+z2, різницю z2-z1, добуток z1z2 і частку z2/z1.
Розв’язання
z1+z2=(-1+6i)+(2+5i)=-1+6i+2+5i=(1+2)+(6+5)i=1+11i.
z1-z2=(2+5i)-(-1+6i)=2+5i+1-6i=(2+1)+(5-6)i=3-i.
z1-z2=(-1+6i)(2+5i)=-2-5i+12i+30i2=2+7i+30(-1)=(-2-30)+7i=32+7i.
z2/z1=
Помножимо чисельник і знаменник на число, спряжене до знаменника:
=
