Показникова форма запису комплексного числа.

Ця формула називається формулою Ейлера.

Вище було показано, що кожне комплексне число z ≠0 можна записати в тригонометричній формі:

Звідси, а також з формули Ейлера випливає, що кожне комплексне число z ≠0 можна записати і в такій формі:

Запис комплексного числа у вигляді називається показниковою формою запису.

Тут – модуль комплексного числа, а – один (будь-який) з його аргументів.

Дії над комплексними числами в показниковій формі

Нехай , тоді

Знаючи формулу Ейлера, формулу для піднесення комплексного числа до натурального степеня можна переписати так:

Формулу, яка дає всі розв’язки рівняння zⁿ= , завдяки формулі Ейлера можна до переписати в компактнішому вигляді:

, k=0, …, n-1.

Питання для самоконтролю

1. Які числа називають комплексними?

2. Чи існують для комплексних чисел поняття "більше", "менше"?

3. Який зміст вкладено в комплексне число ?

4. Яка алгебраїчна форма запису комплексного числа?

5. Яка геометрична інтерпретація комплексного числа ?

6. Що таке модуль комплексного числа і як його обчислюють?

7. Що таке аргумент комплексного числа і як його обчислюють?

8. Чи однозначно визначається модуль комплексного числа ? Аргумент?

9. Яка тригонометрична форма запису комплексного числа?

10. Як виконують дії з комплексними числами в тригонометричній формі?

11. Яка показникова форма запису комплексного числа?

12. Як виконують дії з комплексними числами в показниковій формі?

Усні вправи.

1. Виконати дії:

а) (2+3і)+(-4+і);

б) (12-і)-(-3+і);

в) (-1+і)(-1-і);

г) і(1+і)

Відповіді: а) -2+4і; б) 15-2і; в) 2; г) 1+і.

2. В яких чвертях розміщені комплексні числа?

а) -3+і;

б) 4-і;

в) -2-3і;

г)2+і

Відповіді: а) ІІ чв.; б) ІV чв.; в) ІІІ чв.; г) І чв.

3. Чому дорівнює модуль комплексного числа z = 1+i?

4. Знайти аргумент комплексного числа z = 1+i, якщо

5. Знайти тригонометричну форму комплексних чисел:

а) z = 1;

б) z = -1;

в) z = i;

г) z = -i

Відповіді: а) cos 0 + i sin 0; б) cos π + i sin π; в) ; г) ;

6. Обчислити:

а) і¹⁶; б) і²⁵; в) і¹⁵; г) і²²;

Відповіді: а) 1; б) і; в) –і; г) -1.

Вправи для самоконтролю

1. Розв’язати рівняння:

а) ;

б) ;

в) ;

г)

2. Виконати дії:

а)

б)

3. Обчислити:

(1+і)⁸.

4. Знайти модуль і аргумент числа

5. Записати в тригонометричній формі комплексне число

6. Піднести до степеня за формулою Муавра:

а)

б)

7. Добути корінь:

а)

б)

8. Розв’язати рівняння:

а) б)

Відповіді:

1. а)

б)

в)

г)

2. а) 2і;

б) 2і;

3. Вказівка. Використати співвідношення

(1+і)² = 2і.

4. 

5. 

6. 

7. 

б)

8. а)

б)

Література

1. Математика для технікумів. Алгебра і початки аналізу/Під ред. Г.М. Яковлева/ – К.:Вища школа, 1980.

2. Валуцє Н.Н.,Дилигул Г.Д. Математика для техникумов/ на базе средней школы/ – М.:Наука,1992.

3. Афанасьева, Бродский Я.С., Гуткин Н.Н, Павлов А.Л. Сборник задач по математике для техникумов. – М.: Наука, 1992.

4. Боголюбов Н.В. Практическое занятия по математике. –М.: Высшая Школа, 1990.

5. М.І. Шкіль, З.І Сленкаль, О.С. Дубойчук. Алгебра і початки аналізу. К.: Зодіак – ЕКО, 1995.