1.7. Первый и второй законы кирхгофа

Два закона Кирхгофа, называемые иногда правилами Кирхгофа, – основные законы электрических цепей. Оба закона были установлены на основании многочисленных опытов.

Согласно первому закону Кирхгофа (закону Кирхгофа для токов) алгебраическая сумма токов в любом узле электрической цепи равна нулю:

(1.5)

где со знаком плюс записываются токи с положительными направле­ниями от узла, а со знаком минус – с положительными направлениями к узлу, или наоборот. Иначе: сумма токов, направленных от узла, равна сумме токов, направленных к узлу. Например, для узла цепи на рис. 1.10

или

Этот закон является следствием того, что в узлах цепи постоянного тока заряды не могут накапливаться. В противном случае изменялись бы потенциалы узлов и токи в ветвях.

Согласно второму закону Кирхгофа (закону Кирхгофа для напря­жений) алгебраическая сумма напряжений участков любого контура электрической цепи равна нулю:

(1.6)

где m – число участков контура.

В (1.6) со знаком плюс записываются напряжения, положительные направления которых совпадают с произвольно выбранным направле­нием обхода контура, и со знаком минус – противоположно направ­ленные, или наоборот.

В частности, для контура схемы замещения цепи, содержащего толь­ко источники ЭДС и резистивные элементы, алгебраическая сумма на­пряжений на резистивных элементах равна алгебраической сумме ЭДС:

(1.7)

где m – число резистивных элементов; n – число ЭДС в контуре.

В (1.7) со знаком плюс записываются ЭДС и токи, положительные направления которых совпадают с произвольно выбранным направ­лением обхода контура, и со знаком минус – противоположно направ­ленные, или наоборот. Для контуров, содержащих источники тока, например контура 1, показанного штриховой линией на рис. 1.11, до­пустима запись второго закона Кирхгофа только в виде (1.6), но не в виде (1.7).

Второй закон Кирхгофа (1.6) является следствием равенства нулю циркуляции вектора напряженности электрического поля вдоль любо­го замкнутого контура длиной l в безвихревом поле . Напри­мер, для контура 1 на рис. 1.11 по (1.6)

для контура 2 по (1.7)

В частном случае в контур может входить только одна ветвь цепи, так что он замыкается вне ветвей цепи (рис. 1.12). В этом случае со­гласно (1.7)

Рис. 1.10 Рис. 1.11 Рис. 1.12

откуда

I=(U+E)/r. (1.8)

Уравнение (1.8) выражает обобщенный закон Ома для любой вет­ви с источником ЭДС (но без источников тока) с суммарными сопро­тивлением r и ЭДС Е или отдельного участка этой ветви с параметра­ми r' и Е.

1.8. Применение закона ома и законов кирхгофа для расчетов электрических цепей

В общем случае схема замещения, цепи имеет В ветвей, из которых В_J ветвей содержат источники тока, и У узлов.

Рассмотрим сначала расчет режима в цепи без источников тока, т. е. при В_J=0. Ее расчет сводится к нахождению токов в В ветвях. Для этого необходимо составить У – 1 независимых уравнений по первому закону Кирхгофа и К=В–У+1 независимых уравнений по второму закону Кирхгофа. Соответствующие этим уравнениям узлы и контуры называются независимыми.

Число независимых уравнений по первому закону Кирхгофа на еди­ницу меньше числа узлов потому, что ток каждой ветви входит с раз­ными знаками в уравнения для соединяемых ею узлов. Сумма слагае­мых уравнений всех узлов тождественно равна нулю.

В качестве примера рассмотрим расчет цепи, схема замещения ко­торой показана на рис. 1.13 и которая содержит У=2 узла и В=3 ветви, т. е. К=В–У+1=3–2+1=2 независимых контура (1 и 2, или 1 и 3, или 2 и 3).

Рис. 1.13

Произвольно выбираем положительные направления токов ветвей .По первому закону Кирхгофа можно составить одно (У – 1=2–1=1) независимое уравнение, например для узла а

(1.9а)

и по второму закону Кирхгофа - два (К=2) независимых уравнения, например для контура 1 и 2

; (1.96)

. (1.9в)

Решение системы трех уравнений (1.9) с тремя неизвестными токами, например методом подставок, определяет токи ветвей .

Систему алгебраических уравнений сложной цепи, составленных на основе законов Ома и Кирхгофа, целесообразно решать численными методами на ЭВМ. Например, для схемы замещения без источника тока удобно воспользоваться матричной формой

AI=BE, (1.10)

где А и В – квадратные матрицы коэффициентов при токах и ЭДС по­рядка В х В, где В – число ветвей; I и Е – матрицы-столбцы неиз­вестных токов и заданных ЭДС.

Элементы матрицы А и В являются коэффициентами в уравнениях (1.10) соответственно при токах и ЭДС. Отсутствие тех или иных токов и ЭДС в каких-либо уравнениях задается значениями "нуль" соответ­ствующих элементов матриц.

Решение системы (1.10):

I= A^–1 BE = GE, (1.11а)

где

(1.11б)

– обратная матрица;  и – определитель матрицы А и алгебраиче­ские дополнения ее элементов a_ik;

(1.11в)

- матрица так называемых собственных g_ii и взаимных g_ik проводимостей.

Токи ветвей:

(1.12)

Форма записи системы уравнений (1.12) предполагает, что направ­ления ЭДС и положительные направления токов в ветвях совпадают. Так, система уравнений (1.9) в матричной форме

(1.13)

определяет токи ветвей;

(1.14)

где

Математическое обеспечение современных ЭВМ имеет стандартные подпрограммы решения системы алгебраических уравнений в матрич­ной форме.

При расчете схем замещения с источниками тока возможны упро­щения. Действительно, токи В_J ветвей с источниками тока известны. Поэтому число независимых контуров (без источников тока!), для которых необходимо составить уравнения по второму закону Кирхго­фа, равно К= В –B_J –У+ 1.

При помощи законов Ома и Кирхгофа можно рассчитать режим ра­боты любой электрической цепи. Однако порядок системы уравнений может быть большим. Для упрощения вычислений применяют различ­ные расчетные методы: контурных токов, узловых потенциалов, меж­узлового напряжения, эквивалентного источника и т. д. Все эти мето­ды основаны на законах Ома и Кирхгофа.