1.10. Метод узловыу потенциалов

Метод узловых потенциалов позволяет уменьшить число совместно решаемых уравнений до У – 1, где У – число узлов схемы замещения цепи. Метод основан на применении первого закона Кирхгофа и заклю­чается в следующем:

1) один узел схемы цепи принимаем базисным с нулевым потенциа­лом. Такое допущение не изменяет значения токов в ветвях, так как ток в каждой ветви зависит только от разностей потенциалов узлов, а не от действительных значений потенциалов;

2) для остальных У–1 узлов составляем уравнения по первому за­кону Кирхгофа, выражая токи ветвей через потенциалы узлов;

3) решением составленной системы уравнений определяем потенциалы У–1 узлов относительно базисного, а затем токи ветвей по обобщенному закону Ома (1.8).

Рис. 1.17.

Рассмотрим применение метода на примере расчета цепи по рис. 1.17, содержащей У=3 узла. Узел 3 принимаем базисным, т. е. =0. Для узлов 1 и 2 уравнения по первому закону Кирхгофа:

узел 1

узел 2

где

т. е. после подстановки

(1.27а)

или в матричной форме

(1.27б)

Рис. 1.18

Решение системы уравнений (1.27а) ме­тодом подстановок или (1.27б) численным методом на ЭВМ определяет потенциалы уз­лов ( и , а следовательно, и токи ветвей по (1.8).

Из записи (1.27) очевиден принцип со­ставлений уравнений по методу узловых потенциалов. В левой части уравнений ко­эффициент при потенциале рассматриваемо­го узла положителен и равен сумме проводимостей сходящихся к нему ветвей. Ко­эффициенты при потенциалах узлов, соеди­ненных ветвями с рассматриваемым узлом, отрицательны и равны проводимостям соответствующих ветвей.

Правая часть уравнений содержит алгебраическую сумму токов ветвей с источниками токов и токов короткого замыкания ветвей с источниками ЭДС, сходящихся к рассматриваемому узлу, причем сла­гаемые берутся со знаком плюс (минус), если ток источника тока и ЭДС направлены к рассматриваемому узлу (от узла).

В частном случае схемы замещения без источников тока с двумя узлами потенциал узла 1 при базисном узле 2, т. е. при =0, равен напряжению между узлами

(1.28)

Выражение (1.28) называется формулой межузлового напряжения. Например, для цепи на схеме рис. 1.18 напряжение между узлами по (1.28)

1.11. Метод контурных токов

Метод контурных токов позволяет уменьшить число совместно ре­шаемых уравнений до К=В–B_J –У+1 и основан на применении второго закона Кирхгофа.

Рассмотрим сущность метода сначала для расчета схемы цепи без источников тока, т.е.при B_J =0;

1) выбираем К=В–У+1 независимых контуров и положительных направлений так называемых контурных токов, каждый из которых протекает по всем элементам соответствующего контура.

Для планарных схем, т. е. допускающих изображение на плоскости без пересечения ветвей, достаточным условием выделения К независимых контуров является наличие в каждом из них хотя бы одной ветви, принадлежащей только этому контуру;

2) для К независимых контуров составляем уравнения по второму закону Кирхгофа, совместное решение которых определяет вес кон­турные токи;

3) ток каждой ветви определяем по первому закону Кирхгофа как алгебраическую сумму контурных токов в соответствующей ветви.

В качестве примера рассмотрим расчет цепи на рис. 1.19, а с числом ветвей B=6, узлов У=4, независимых контуров К=B–У+1=6–4+1=3. Выбираем независимые контуры 1–3 и положительные направ­ления контурных токов в них и (рис. 1.19,б). В отличие от токов ветвей каждый контурный ток обозначим двойным индексом номера контура. Уравнения по второму закону Кирхгофа:

(1.29а)

или в матричной форме

(1.29б)

Решение системы уравнений (1.29а) методом подстановок или (1.19б) численными методами на ЭВМ определяет контурные токи . Токи ветвей (рис. 1.19) находим по первому закону Кирх­гофа:

"/И - /22.

Из (1.29) очевиден принцип составления уравнений по методу кон­турных токов. В левой части уравнений коэффициент при контурном токе рассматриваемого контура положителен и равен сумме сопротивлений его ветвей. Коэффициенты при контурных токах в контурах, имеющих общие ветви с рассматриваемым контуром, равны сумме сопротивлений общих ветвей со знаком плюс (минус), если направ­ления контурных токов в общих ветвях совпадают (противоположны).

Рис. 1.19 Рис. 1.20

Правая часть уравнений содержит алгебраическую сумму ЭДС вет­вей рассматриваемого контура, причем слагаемое записывается со зна­ком плюс (минус), если направления ЭДС и положительное направ­ление контурного тока совпадают (противоположны).

При расчете схемы замещения с источниками тока возможны упро­щения. Контурный ток, выбранный так, что других контурных токов в ветви с источником тока нет, известен. Поэтому в схеме с В ветвя­ми, В_J, из которых содержат источники тока, число независимых контуров без источников тока и соответствующих им неизвестных контурных токов равно К=В – В_J –У + 1.

Например, в цепи на схеме рис. 1.20 число ветвей В=5, ветвей с источниками тока В_J =2, узлов У=3, независимых контуров без ис­точников тока К=В– В_J –У+1=5–2–3+1=1 (контур 3). Урав­нение по второму закону Кирхгофа для контура 3 при выбранных положительных направлениях контурных токов:

,

т. е.

где – известные токи контуров 1 и 2.

Токи ветвей: .

28