Контрольные вопросы
В чем состоит явление термоэлектронной эмиссии?
Как связаны ток в лампе и анодное напряжение? Выведите это соотношение.
Что называют током насыщения? Как он зависит от температуры? Выведите это соотношение.
При малых анодных напряжениях и больших температурах катода закон «трех вторых» перестает работать, т.к. плотность пространственного заряда у катода делается столь большой, что напряженность поля меняет здесь знак, т.е. вылетающие из катода электроны тормозятся этим полем. Как в этом случае записать закон «трех вторых»?
Приложение 1 закон «трех вторых».
Выведем соотношение между током и анодным напряжением предполагая что:
сила тока в лампе не зависит от времени,
катод и анод являются параллельными плоскостями,
скорость электронов, выходящих из катода равна нулю,
напряженность электрического поля на поверхности катода равна нулю из-за наличия облака электронов у поверхности катода.
Напряженность электрического поля E и объемная плотность зарядов , создаваемых электронами, связаны теоремой Гаусса:
divE = 4.
Вводя потенциал электрического поля , и учитывая, что E= – grad , получим для потенциала уравнение Пуассона:
= – 4 (1).
Здесь, как обычно, символом обозначена сумма вторых частных производных от по координатам:
=
.
В нашем случае, когда катод и анод представляют собой параллельные плоскости, потенциал изменяется лишь в направлении, перпендикулярном этим плоскостям. Выбрав систему координат с осью OX перпендикулярной катоду, получим, что в (1) производные по y и z обращаются в нуль и (1) приобретает более простой вид:
(2).
Выберем направление оси OX от катода к аноду, а начало координат на катоде. Пусть расстояние между катодом и анодом равно d. В качестве граничных условий для примем:
(0)=0 (условие на катоде) и
(d)=Ua (условие на аноде).
Кроме
того, поскольку напряженность поля на
катоде мы приняли равной нулю, то на
катоде, т.е. при x=0,
d/dx=0.
Плотность тока связана со скоростью зарядов и их плотностью известным соотношением:
j=v. (3).
Согласно уравнению непрерывности
,
и поскольку мы считаем, что ток в лампе не зависит от времени, то и плотность заряда также будет постоянной. Следовательно, divj=0 и, поскольку все величины в нашем случае зависят лишь от одной координаты x, получаем, что dj/dx=0, т.е. плотность тока не зависит от координат:
j=const (4).
Скорость электронов можно определить из закона сохранения энергии:
(5).
Здесь мы учли, что начальная скорость электронов равна нулю и потенциал на катоде выбран также нулевым. Кроме того, через e мы обозначили абсолютную величину заряда электрона.
Выразив плотность через j и v из (3), а v через из (5), получим вместо (2) уравнение:
.
Умножив обе стороны уравнения на d/dx и проинтегрировав по dx, получим:
(6).
Здесь через A мы обозначили
постоянную, равную
.
Эта константа положительна, т.к. электроны
летят от катода к аноду, т.е. в положительном
направлении, а ток течет навстречу
движению электронов, следовательно,
j<0 и A>0.
Константа в правой части уравнения (6), в силу нулевых граничных условий для , равна нулю. Тогда из (6) мы получим:
.
Интегрируя это уравнение с учетом значения постоянной A и условий для при x=0 и x=d, получим:
(7).
Это и есть закон трех вторых. Мы получили его для случая плоских анода и катода. В случае цилиндрической геометрии электродов подход к решению задачи тот же, но вычисления оказываются значительно сложнее. И в этом случае плотность тока оказывается пропорциональной напряжению в степени три вторых. Мы не будем проводить расчеты для цилиндрической геометрии, и ограничимся рассмотренным плоским случаем.