10. Размерные квантовые эффекты

1. Действие силы Лоренца на носители тока в проводниках и полупроводниках.

2. Гальваномагнитные явления.

3. Классический эффект Холла. Холловская разность потенциалов.

4. Размерные квантовые эффекты.

5. Двумерная электронная система.

6. Квантование движения электрона в постоянном и однородном магнитном поле. Уровни Ландау.

7. Квантование магнитного потока.

8. Целочисленный квантовый эффект Холла.

9. Дробный квантовый эффект Холла.

В отсутствие магнитного поля постоянное электрическое поле с вектором напряженности создает так называемое дрейфовое движение свободных носителей заряда твердого тела с постоянной скоростью дрейфа , которая описывается формулой:

.

(10.1)

Здесь - подвижность свободных носителей заряда q, - эффективная масса свободных носителей заряда и τ – время релаксации импульса свободных носителей заряда. Это время релаксации есть характерное время установления постоянной скорости дрейфового движения при включении электрического поля (или характерное время хаотизации дрейфового движения при выключении электрического поля и установления теплового равновесия в системе свободных носителей заряда).

Величина подвижности определяется процессами рассеяния свободных носителей заряда на тепловых колебаниях кристаллической решетки, дефектах и примесях и зависит от температуры кристалла. Столкновения свободных носителей заряда с дефектами, примесями и колеблющимися атомами кристаллической решетки, разрушающие дрейфовое движение, могут описываться с помощью некоторой эквивалентной силы вязкого трения, которая в стационарном состоянии уравновешивает действие силы электрического поля и обеспечивает движение свободных носителей заряда с постоянной дрейфовой скоростью при =const.

Вектор плотности электрического тока, определяемый дрейфовым движением свободных носителей заряда, записывается в виде:

,

(10.2)

где - концентрация свободных носителей заряда q. Из (10.1) и (10.2) следует закон Ома, записанный в дифференциальной форме,

,

(10.3)

где

(10.4)

- электропроводность проводника в классической теории Друде.

Сила тока I, протекающего по проводнику, определяется формулой:

,

(10.5)

где S – поверхность, натянутая на контур поперечного сечения проводника с током и - единичный вектор нормали к элементу ds этой поверхности, направленный так же, как протекающий ток. Если =const, то I=jS, где S-площадь поперечного сечения проводника.

В случае полупроводников, где электрический ток создается дрейфовым движением как электронов зоны проводимости с концентрацией n_e, так и дырками валентной зоны с концентрацией n_p, электропроводность принимает вид

,

(10.6)

где и - подвижность соответственно электронов и дырок.

При наличии магнитного поля с вектором магнитной индукции на движущиеся со скоростью носители тока с зарядом q действует сила Лоренца

.

(10.7)

Поскольку сила Лоренца перпендикулярна скорости , то её действие только искривляет траекторию дрейфового движения носителей тока, не меняя величину их скорости. Причём независимо от знака заряда q носители тока отклоняются в одну сторону по отношению к направлению протекающего тока, которое задается вектором напряженности электрического поля .

Рассмотрим гальваномагнитные явления, к которым относятся все физические процессы, протекающие при действии магнитного поля на электрический ток в проводнике и изменяющие тем самым электрические свойства проводника. В классической физике теория гальваномагнитных явлений основана на искривлении траектории движения носителей тока под действием силы Лоренца.

К гальваномагнитным явлениям относятся следующие:

1) пространственное разделение зарядов с противоположными знаками и возникновению поперечного по отношению к направлению тока электрического поля с соответствующей разностью потенциалов (эффект Холла);

2) изменение подвижности и концентрации носителей тока, что меняет сопротивление проводника, полупроводника или контакта двух полупроводников с разными типами проводимости (магниторезистивный эффект);

3) изменение скорости рекомбинации электронов зоны проводимости и дырок в полупроводнике, что влияет на концентрацию носителей тока и приводит к изменению сопротивления полупроводника в области магнитного поля (гальваномагниторекомбинационный эффект).

Перечисленные выше гальваномагнитные эффекты связывают величину магнитного поля с электрическими характеристиками металлов и полупроводников, поэтому они используются в датчиках магнитного поля, а также тех физических величин, которые могут быть легко преобразованы в магнитное поле.

Широкое применение в измерительных приборах получил классический эффект Холла, открытый в 1879 г. Э.Г. Холлом. Этот эффект имеет простую теорию в случае относительно слабого магнитного поля, когда , и достаточно высокой температуры, когда

.

Здесь

(10.8)

- циклотронная частота электрона в кристалле, - время релаксации носителей тока, , h=6,6·10^-34Дж·с – постоянная Планка и k=1,38·10^-23Дж/K – постоянная Больцмана. Циклотронная частота есть частота обращения электрона по окружности в постоянном и однородном магнитном поле с магнитной индукцией B.

На рис. 10.1 приведена схема опыта по наблюдению эффекта Холла в проводнике с прямоугольным поперечным сечением, где а – толщина и b – ширина проводника. Ток течет в положительном направлении оси х. Вектор магнитной индукции направлен по оси z.

Рис. 10.1

Для получения количественных характеристик классического эффекта Холла предположим, что постоянный электрический ток с плотностью создан свободными носителями электрического заряда q>0. Согласно формуле (10.7) сила Лоренца отклоняет носители тока независимо от знака заряда q в одну и туже сторону, определяемую векторным произведением . В случае рис. 10.1 носители тока отклоняются в отрицательном направлении оси y. Если заряд q>0, в области у<0 возникает избыток положительных зарядов, а в области y>0 – избыток отрицательных зарядов. Эти заряды располагаются на противоположных поверхностях проводника, где y=const. В целом в любом поперечном сечении y0z проводника суммарный заряд равен нулю, поскольку проводник с током является электрически нейтральным.

Благодаря пространственному разделению зарядов противоположного знака в поперечном сечении проводника, где B≠0, возникает поперечное электрическое поле , которое называется холловским. Величина холловского поля растет до тех пор, пока его действие на носители тока полностью не компенсирует действие магнитного поля. Тогда выполняется равенство

или

.

(10.9)

Соответствующая холловская разность потенциалов (холловское напряжение) описывается выражением:

,

(10.10)

где множитель

(10.11)

называется постоянной Холла, I=jab – сила постоянного тока, протекающего по проводнику. Полярность холловского напряжения зависит от знака R_H, т.е. знака заряда q носителей тока в проводнике. Следовательно, с помощью эффекта Холла можно изучать физическую природу носителей тока.

Измеряя независимо электропроводность σ и постоянную Холла R_H, можно получить информацию о концентрации и подвижности носителей тока в проводнике. В случае полупроводников носителями тока могут быть как электроны с концентрацией n_e и подвижностью u_e, так и дырки с концентрацией n_p и подвижностью u_p. Соответствующее выражение для постоянной Холла принимает вид:

.

(10.12)

Теперь для нахождения четырех неизвестных величин n_e, n_p, u_e и u_p двух уравнений (10.6) и (10.12) недостаточно, поэтому необходимо проводить по крайней мере два дополнительных и независимых измерения характеристик полупроводника, дающих информацию о величинах n_p, u_p, n_e и u_e.

Для чистых металлов постоянная Холла R_H10^-10-10^-11 м³/A·c, для полупроводников R_H10^-4-10^-2 м³/A·c. При этом следует иметь ввиду, что величина R_H сильно зависит от температуры полупроводника. В справочных таблицах обычно приводится величина R_H для комнатной температуры.

Рассмотрим влияние геометрии макроскопической квантовой системы на ее характеристики. Под термином «размерный эффект» понимают зависимость физических свойств системы от её геометрических размеров, когда по крайней мере один из них сравним с характерной физической величиной, имеющей размерность длины. В классической физике характерной длиной может быть средняя длина свободного пробега электрона в кристалле, диффузионная длина, радиус экранирования электрического заряда в среде, толщина скин-слоя. Квантовый размерный эффект имеет место в том случае, когда длина волны де Бройля частицы сравнима по крайней мере с одним из линейных размеров системы. В этом случае необходимо учитывать квантовые особенности движения частиц в данном направлении, что может привести к квантованию макроскопических характеристик системы.

Интересными физическими свойствами обладает двумерная электронная система, в которой электроны могут свободно перемещаться в некоторой плоскости. При этом их движение в направлении нормали к плоскости является заданным и не зависит от полей, определяющих движение электронов в самой плоскости. Допустим, что движение электронов в плоскости XOY является свободным, а вдоль оси Z – ограничено областью шириной d. Энергия стационарных состояний электрона в этом случае описывается выражением:

,

(10.13)

где и – компоненты импульса электрона в плоскости XOY. Второе слагаемое в правой части выражения (10.13) связано с квантованием движения электрона вдоль оси Z, причём для простоты использован энергетический спектр частицы в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме прямоугольной формы.

Электронный газ считается двумерным, если все электроны заполняют только самую нижнюю энергетическую подзону с n=1, где благодаря классическому движению электронов в плоскости XOY может находиться сколь угодно много электронов. Для исключения теплового возбуждения электронов в подзону с n=2 необходима достаточно низкая температура

,

где k – постоянная Больцмана. Кроме того, ширина возбуждённого состояния электронов, обусловленная главным образом рассеянием электронов в кристалле, должна быть много меньше энергии возбуждения . Наконец, требуется высокая степень однородности слоя по толщине d и его физическим характеристикам, а также преимущественно зеркальное упругое рассеяние электронов на поверхностях слоя.

Изменение энергетического спектра при переходе от трёхмерной к двумерной системе приводит к существенному изменению зависимости энергетической плотности электронных состояний g(E) от энергии электронов E. В случае массивных (трёхмерных) кристаллах в непосредственной близости от дна зоны проводимости функция g(E)~ и имеет плавный монотонный характер. В тонкой плёнке, удовлетворяющей ряду условий, функция g(E) имеет ступенчатый характер (см. рис.10.2).Значения энергии, при которой происходят скачки плотности состояний, соответствуют очередному размерному уровню с энергией . Следует отметить, что функция g(E) влияет на все электронные характеристики твёрдых тел: электропроводимость, теплопроводность, магнетосопротивление и т.д.

Рис. 10.2

Интерес к исследованиям двумерных электронных систем был связан как с обнаружением самого явления размерного квантования, так и с возможностью построения принципиально новых элементов для микро- и оптоэлектроники. Для создания двумерного электронного газа используются тонкие плёнки полуметаллов, полупроводников и металлов, а также гетеропереходы.

Поскольку требуемая толщина слоя порядка длины волны де Бройля λ_Б электронов

,

то для металлов, где эффективная масса электрона (масса свободного электрона) и (энергия Ферми), длина волны де Бройля м и сравнима с периодом кристаллической решётки. Создать металлическую пленку такой толщины практически невозможно. Исключением служит графен – двумерный кристалл из атомов углерода, образующих гексагональную решетку.

В случае полуметаллов и полупроводников с малой шириной запрещённой зоны величина m* может быть порядка 0,01m, а энергия Ферми составлять сотые доли эВ. Соответствующая длина волны де Бройля м и с помощью современных технологий возможно получение пленок необходимого качества. Таким образом, для наблюдения квантового размерного эффекта должен быть выбран материал с малой эффективной массой электрона и малой энергией Ферми.

Особый интерес представляет ситуация, когда размерно-квантованная двумерная система помещена в магнитное поле, квантующее движение частиц в плоскости плёнки XOY. Сочетание магнитного и размерного квантования создаёт в твёрдом теле макроскопический аналог атома – электронную систему с дискретным энергетическим спектром во всех трёх измерениях.

Согласно классической механике свободный электрон совершает движение вдоль вектора магнитной индукции с постоянным импульсом, а в плоскости, перпендикулярной вектору , движется по окружности радиусом с угловой скоростью (соответствующая частота обращения называется циклотронной). Магнитное поле следует считать квантующим, когда ларморовский радиус сравним с длиной волны де Бройля. В этом случае необходимо учитывать дискретность энергии движения электрона в плоскости, перпендикулярной вектору .

В квантовой механике стационарные состояния частицы в постоянном и однородном магнитном поле квантуются. При этом движение вдоль силовых линий магнитного поля в неограниченном пространстве не квантуется, а движение в плоскости, перпендикулярной к линиям вектора магнитной индукции, квантуется. Решение стационарного нерелятивистского уравнения Шредингера без учета спина электрона дает квантование энергии поперечного движения частицы, которая может принимать следующие значения:

,

(10.14)

где n=0,1,2,… - квантовое число и  - постоянная, зависящая от типа частицы (для свободного электрона =1/2). Формула (10.14) была впервые получена Л.Д.Ландау в 1930г., поэтому эти энергетические уровни получили название «уровни Ландау». Поскольку , энергия стационарных состояний прямо пропорциональна величине магнитной индукции.

С помощью правила квантования Бора-Зоммерфельда можно определить эффективную площадь S_n поверхности, перпендикулярной к вектору магнитной индукции , где в основном происходит движение частицы, находящейся в стационарном состоянии с квантовым числом n,

.

(10.15)

Таким образом, магнитный поток

,

(10.16)

связанный с этим квантовым состоянием, оказывается квантованным.

При переходе из стационарного состояния с квантовым числом n в следующее по энергии стационарное состояние с квантовым числом n+1 магнитный поток меняется на одну и ту же величину

,

(10.17)

не зависящую от n. Величина магнитного потока ₀, определяемая зарядом частицы, называется квантом магнитного потока..

Стационарные состояния Ландау являются вырожденными, т.е. одной и той же энергии E_n соответствует

(10.18)

различных квантовых состояний, отличающихся координатной зависимостью волновой функции в плоскости, перпендикулярной к вектору магнитной индукции . Здесь S – площадь той части плоскости, в которой возможно движение частицы, и =BS – полный магнитный поток, пронизывающий поверхность возможного движения частицы. Величина g называется кратностью, или степенью вырождения стационарного состояния. Как видно из формулы (10.18), кратность вырождения не зависит от квантового номера n и растет прямо пропорционально величине магнитной индукции.

Полная энергия электрона записывается в виде:

,

(10.19)

где и – два квантовых числа, определяющих энергетический уровень электрона.

Изменение энергетического спектра влечёт за собой изменение энергетической плотности электронных состояний g(E). Она имеет теперь резко выраженные особенности при энергиях, соответствующих уровням Ландау (см. рис.10.3). Особенности g(E) и являются причиной осцилляционных явлений, наблюдаемых для двумерных электронных систем в квантующем магнитном поле.

Рис. 10.3

В 1980г. появилось сообщение К. фон Клитцинга о том, что зависимость поперечного холловского сопротивления

(10.20)

от магнитной индукции B, измеренная для двумерной электронной системы, имеет ступенчатый характер (см. рис. 10.4). Здесь – холловское напряжение, измеряемое в направлении, перпендикулярном к протекающему току I, R_H – постоянная Холла и d₁ – поперечный размер проводящей системы в направлении, перпендикулярном холловскому электрическому полю и направлению тока.

Высота ступеней холловского сопротивления , измеренная при определенных значениях B, описывается формулой

, ,

(10.21)

т.е. принимает дискретные целочисленные значения. Величина i(B) определяется числом полностью заполненных уровней Ландау (10.14). С ростом магнитной индукции В в условиях теплового равновесия электроны переходят на нижний уровень n=1, степень вырождения которого в соответствии с (10.18) увеличивается. Эти ступеньки наблюдаются в области низких температур T<4K и сильных магнитных полей В ~ 10Тл.

Рис. 10.4

Данный эффект квантования холловского сопротивления называется целочисленным квантовым эффектом Холла (ЦКЭХ), за открытие которого в 1985г. К. фон Клитцингу присуждена Нобелевская премия по физике.

В опыте К. фон Клитцинга двумерная электронная система получалась внутри многослойной структуры, состоящей из слоя металла (1), изолирующего слоя SiO₂ (2) и слоя полупроводника с проводимостью p - типа (3) (см.рис.10.5). Свободные электроны (неосновные носители тока в полупроводнике, имеющие достаточно малую концентрацию) не могут перейти из полупроводника в слой изолятора, поэтому граница между этими слоями является одной из стенок потенциальной ямы вдоль оси Z для свободных электронов полупроводника. Другую стенку потенциальной ямы формирует электростатическое поле , направленное вдоль оси Z, как показано на рис.10.5. В результате возникает потенциальная яма треугольной формы, где

Рис. 10.5

свободные электроны прижаты электрическим полем к поверхности раздела изолятор – полупроводник, а их движение вдоль оси Z является квантованным.

Квантование движения данных электронов в перпендикулярной плоскости XOY обеспечивает сильное магнитное поле, также направленное вдоль оси Z. Если постоянный электрический ток течёт вдоль оси X, то холловское напряжение измеряется вдоль оси Y.

На основе ЦКЭХ имеется возможность еще одного независимого измерения отношения , входящего в постоянную тонкой структуры , которая в квантовой электродинамике определяет взаимодействие заряженных частиц с электромагнитным полем. В квантовой метрологии величина ступеньки холловского сопротивления

Ом

называется постоянной фон Клитцинга и используется для создания естественного квантового эталона единицы сопротивления постоянному току.

Через два года после открытия ЦКЭХ Д.Цуи, Л.Штермер и А.Госсард, измеряя холловское сопротивление двумерной электронной системы в селективно легированных гетеропереходах при К и Тл, открыли дробный квантовый эффект Холла (ДКЭХ), где высота ступеней описывается формулой (10.21) с дробными значениями . Здесь q и p - целые числа, не имеющие общих делителей, причем p – нечётное число. В качестве гетеропереходов использовался контакт двух различных полупроводников GaAs и сплава , который легировался донорными примесями и имел проводимость n - типа. У поверхности GaAs электроны удерживались внешним электрическим полем в потенциальной яме шириной ~100Å, созданной электрическим потенциалом, с одной стороны, и скачком потенциальной энергии электронов на границе раздела двух сред с другой. Соответственно при низких температурах электронный газ этой системы становится двумерным аналогично тому, как это происходит в структурах металл – диэлектрик – полупроводник.

ДКЭХ возникает благодаря кулоновскому взаимодействию электронов, создающему электронную «жидкость», и связи между вихревым движением этой жидкости и квантами магнитного потока, пронизывающего двумерную электронную систему. Возбуждённые состояния такой системы описываются с помощью композитных квазичастиц, объединяющих вихри электронной жидкости с квантами магнитного потока и обладающих дробным электрическим зарядом . В зависимости от числа квантов магнитного потока, входящих в состав композитной частицы, она может быть либо бозоном, либо фермионом. Здесь самое удивительное то, что движение электронной жидкости образуют квазичастицы с дробным зарядом без какого-либо деления электрона.

За открытие ДКЭХ Д. Цуи, Л. Штремер и А. Госсард получили в 1998г. Нобелевскую премию по физике. В своей Нобелевской лекции Р.Б. Лафлин отметил, что научное познание не может строиться только на упрощенных моделях (современная модель ДКЭХ описывается волновой функцией с 15 параметрами), а свойства сложных систем не всегда выводятся из свойств элементов этих систем. Иными словами, принцип редукционизма – сведение сложного к совокупности простых истин - не является универсальным.