Контрольные вопросы
В чем заключается постановка простейшей задачи интерполирования и ее геометрический смысл?
Какими свойствами обладает полином Лагранжа
,
построенный по заданной системе узлов
и интерполирующий функцию
(расположение узлов, степень полинома,
его связь с
,
проблема единственности)?В чем состоит назначение полинома Лагранжа?
В каком случае возможна оценка остаточного члена интерполяционного полинома Лагранжа, и какова формула оценки?
Каковы достоинства и недостатки полинома Лагранжа?
Полином Ньютона (вывод полинома, почему существует правый и левый полином, остаточный член).
Задания для самостоятельного выполнения
Найти значения остаточного члена полинома Лагранжа из лабораторной работы.
Глава IV
ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ФОРМУЛАМ СРЕДНИХ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ, ТРАПЕЦИЙ И СИМПСОНА
Теория
При вычислении определенного интеграла иногда удается воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница. Однако даже когда первообразную удается найти явно в аналитической форме, не всегда удается довести до числового ответа значение определенного интеграла. Если к тому же иногда подынтегральная функция задана таблицей или графиком, то в подобных случаях применяют различные методы приближенного (численного) интегрирования.
Формула трапеций:
.
Остаточный член:
.
Формула Симпсона:
.
Остаточный член:
.
Формула средних прямоугольников:
.
Остаточный член:
.
Лабораторная работа №4
Задания:
Вычислить приближенное значение определенного интеграла
от заданной функции (см. таблицу 1) по
обобщенной формуле трапеций, если число
частичных отрезков задано n=20 (составить
программу). Оценить погрешность
вычислений, пользуясь формулой
остаточного члена.Вычислить этот же интеграл по формуле средних прямоугольников. Оценить погрешность вычислений. Сравнить точность полученных по разным формулам результатов.
Вычислить определенный интеграл от заданной функции (см. таблицу 2) с точностью до =10-6 по общей формуле Симпсона (составить программу с использованием формулы двойного пересчета).
Таблица 1 (к заданию)
№ |
f(x) |
a |
b |
1 |
|
0 |
3 |
2 |
|
4 |
6 |
3 |
|
0 |
1 |
4 |
|
-3 |
-1 |
5 |
|
2 |
3 |
6 |
|
-2 |
0 |
7 |
|
-1 |
0 |
8 |
|
1 |
4 |
9 |
|
3 |
5 |
10 |
|
0 |
1 |
11 |
|
1 |
3 |
12 |
|
0 |
1 |
Таблица 2 (к заданию)
№ |
f(x) |
a |
b |
1 |
|
0.8 |
1.8 |
2 |
|
0.8 |
1.8 |
3 |
|
0.6 |
1.6 |
4 |
|
3 |
4 |
5 |
|
1 |
2 |
6 |
|
2 |
3 |
7 |
|
3 |
4 |
8 |
|
1.3 |
2 |
9 |
|
0 |
1 |
10 |
|
2 |
3 |
11 |
|
0.8 |
2.8 |
12 |
|
2 |
4 |
