Геометрия гравитационных полей

Основное свойство гравитационных полей – все тела в них движутся одинаковым образом, вне зависимости от их массы. Это свойство позволяет рассмотреть гравитационное поле как некоторую неинерциальную систему отсчёта. Например, если рассматривать движение в некоторой равномерно ускоренной системе отсчёта, то свободно движущиеся в ней тела будут обладать, относительно этой системы, постоянным ускорением, равным и противоположным по направлению ускорению самой системы отсчёта. Таким же является движение в однородном постоянном гравитационном поле. Так, равномерно ускоренная система отсчёта, эквивалентна постоянному однородному полю. Такой подход к изучению полей был назван принципом эквивалентности.

В зависимости от эквивалентности поля некоторой системе отсчёта, различают “истинные” (поля, эквивалентные инерциальным системам отсчёта) и поля, эквивалентные неинерциальным системам отсчёта. В инерциальной системе отсчёта в декартовых координатах интервал определяется формулой:

, при преобразовании Лоренца этот интервал сохраняет тот же вид. В неинерциальной же системе отсчёта, например в равномерно вращающейся, если провести соответствующее преобразование координат, то интервал примет вид:

, где величины определяют метрику данного пространства-времени и являются компонентами метрического тензора, которые в инерциальной декартовой системе координат примут вид:

, , остальные компоненты равны нулю. Такую систему координат принято называть Галилеевой.

Есть главное отличие между “истинными” полями и полями, которым эквивалентны неинерциальные системы отсчёта. При наличии “истинного” гравитационного поля пространство-время таково, что величины никаким преобразованием координат не могут быть приведены во всём пространстве к их Галилееву виду, при другом поле – могут. Так вот, такое пространство-время, при котором метрика не может быть приведена к Галилеевой, называют кривым, другое – плоским.

Общая теория относительности (ОТО) – геометрическая теория тяготения, в которой гравитация рассматривается как проявление искривления пространства-времени. Одной из главнейших её задач является определение компонент метрического тензора, которые в совокупности задают геометрические свойства пространства-времени, по известному распределению источников энергии-импульса в рассматриваемой системе четырёхмерных координат. Также знание метрики позволяет рассчитать движение частиц гравитационного поля, что равносильно знанию свойств поля тяготения в данной системе.

В этой работе рассматриваются различные геометрические характеристики некоторых кривых метрических пространств.

Предположение об однородности и изотропии пространств. Классификация пространств.

Как всем давным-давно известно: звёзды распределены по пространству неравномерно, они сконцентрированы в звёздных системах – галактиках. Но при рассмотрении Вселенной в больших масштабах, следует отвлечься от этой неравномерности. Так, под плотностью масс, нужно понимать усреднённую массу пространства по рассматриваемой области, размеры которой велики по сравнению с расстояниями между галактиками.

Существует ряд астрономических данных, не противоречащих предположению об однородности и изотропии пространств: данные об изотропии реликтового излучения, данные о примерно одинаковом распределении галактик в пространстве. Такое отношение к пространству даёт вполне адекватное представление о нынешнем состоянии вселенной, о её эволюции в прошлом, естественно, в больших масштабах.

Однородность и изотропия пространства говорят что можно выбрать такое мировое время, что в каждый его момент метрика пространства была одинакова как во всех точках, так и по всем направлениям.

Рассмотрим метрику изотропного пространства, исключая возможность зависимости от времени. Введём элемент расстояния в пространстве в виде:

,

обозначив - трёхмерный метрический тензор. Кривизна пространства полностью определяется его трехмерным тензором кривизны. В случае полной изотропии тензор кривизны, очевидно, должен выражаться только через метрический тензор так что в силу своей симметрии по паре индексов:

,

где -постоянная. Тензор Риччи равен:

,

а скалярная кривизна:

.

• Свойства кривизны изотропного пространства определяются только одной постоянной. Соответсвенно этому есть три различных случая пространственной метрики:

1. >0 - пространство постоянной положительной кривизны;

2. <0 – пространство постоянной отрицательной кривизны;

3. =0 – пространство с кривизной, равной нулю.