Геометрические характеристики пространства метрики типа || по Бьянки
Рассмотрим метрику типа || по Бьянки:
,
где ,
,
,
;
Оцифруем координаты 4-пространсва:
Тогда некоторая
точка 
в 4-пространстве будет иметь вид 
;
Метрический тензор
строим в виде:
где Coeff(*) –коэффициент при соответствующем произведении.
Он будет иметь вид:
метрический тензор, заданный ковариантными
компонентами;
б) Для вычисления компонент символов символов Кристоффеля , вычислим контравариантные компоненты метрического тензора, матрица представления которого есть обратная матрица представления ковариантных компонент метрического тензора, то есть
,
тогда:
в) Теперь посчитаем символы Кристоффеля по формуле:
,
получим:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
г) Вычислим тензор Риччи по формуле:
, получим
;
;
;
;
;
;
д) Скалярная кривизна
,
итого
е) Тензор Эйнштейна принимает вид ():
;
;
;
;
;
;
Геометрические характеристики пространства метрики открытой вселенной Фридмана.
Рассмотрим метрику, соответствующую изотропному пространству отрицательной кривизны:
Для удобства решения
воспользуемся вместо времени величиной
,
определяемой соотношением: 
,
тогда метрика преобразуется к виду:
Оцифруем координаты:
,
тогда некоторая точка этого пространства
будет иметь вид: 
а) метрический тензор будет иметь вид:
б) матрица контравариантных компонент метрического тензора:
в) Тогда символы Кристоффеля:
;
;
;
;
;
;
;
;
г) Вычислим тензор Риччи:
;
;
д) Скалярная кривизна:
;
е) Тензор Эйнштейна принимает вид:
Поиск решения для открытой вселенной Фридмана.
- метрика открытой вселенной Фридмана.
Метрический тензор:
Составим, для начала, уравнения Эйнштейна для данной метрики:
В силу малости космологического члена, то его наличие не будет сказываться существенным образом на гравитационных полях в не слишком больших областях пространства-времени. Поэтому пренебрежём им, тогда уравнение будет иметь вид:
Поскольку в выбранной нами системе отсчёта, связанной с каждой точкой пространства, материя неподвижна, то компоненты вектора 4-скорости по пространственным координатам равны нулю:
и в силу равенства:
выполняется:
Если материя
распределена в пространстве в виде
отдельных макроскопических тел, то при
определении создаваемого ею гравитационного
поля можно рассматривать эти тела как
материальные частицы, обладающие
определёнными массами, не интересуясь
вовсе их внутренним строением. Считая
скорости тел сравнительно малыми по
сравнению со скоростью света c,
можно положить просто 
,
где 
- сумма масс тел к единице объёма. По
той же причине давление, создаваемое
этими телами мало по сравнению с 
,
поэтому им можно пренебречь: p=0.
Итак, для описания современного состояния
вселенной в терминах рассматриваемой
модели, мы воспользуемся уравнением
состояния “пылевидной ” материи:
; p=0.
Тогда, вычисляя тензор энергии-импульса, получим его равным:
= 
Получили уравнение Эйнштейна:
Положим 
,
тогда , остальные компоненты тензора
энергии-импульса равны нулю.
Тогда мы получили систему четырёх уравнений Эйнштейна:
Эта система 4-х дифференциальных уравнений с одной неизвестной.
Решить первое уравнение и проверим, выполняется ли тождество для других. Получим:
Получили зависимость радиуса кривизны от времени, который меняется монотонно, возрастая от нуля до бесконечности. Плотность материи соответственно монотонно убывает. Следовательно можно сказать что Вселенная, заданная этой моделью нестационарна.