4.Билет.

1.Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство

На основании теоремы 3.1 можно легко доказать еще несколько признаков параллельности. Если соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Если сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Из данного утверждения вытекает

Следствие:Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.

2.Окружность — геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Взаимное расположение прямой и окружности

Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности (d < r), то прямая и окружность имеют две общие точки. В этом случае прямая называется секущей по отношению к окружности.
Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку. Такая прямая называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.
Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек

5.Билет.

1. Сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым углам.

Возьмём какой-нибудь треугольник AВС (черт. 208). Обозначим его внутренние углы цифрами 1, 2 и 3. Докажем, что

/ 1 + / 2 + / 3 = 2d.

Проведём через какую-нибудь вершину треугольника, например В, прямую МN параллельно АС.

При вершине В мы получили три угла: / 4, / 2 и / 5. Их сумма составляет развёрнутый угол, следовательно, она равна 2d:

/ 4 + / 2 + / 5 = 2d.

Но / 4 = / 1 — это внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых МN и АС и секущей АВ.

/ 5 = / 3 — это внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых МN и АС и секущей ВС.

Значит, / 4 и / 5 можно заменить равными им / 1 и / 3.

Следовательно, / 1 + / 2 + / 3 = 2d или 180°. Теорема доказана.

2.Прямая, имеющая с только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Свойства касательной

Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

6.Билет.

1.В невырожденном треугольнике сумма длин двух его сторон больше длины третьей стороны, в вырожденном — равна. Иначе говоря, длины сторон треугольника связаны следующими неравенствами:

a < b + c

b < c + a

c < a + b

Доказательство. Если две точки из трех или все три точки совпадают, то утверждение теоремы очевидно. Если все точки различны и лежат на одной прямой, то одна из них лежит между двумя другими, например В. В этом случае АВ + ВС = АС. Отсюда видно, что каждое из трех расстояний не больше суммы расстояний до двух других.

Допустим, что все точки различны и не лежат на одной прямой (рис. 46). Докажем, что АВ < АС + + ВС. Опустим перпендикуляр CD на прямую АВ. По доказанному АВ < AD + BD. Так как AD < АС и BD < ВС, то АВ < АС + ВС. Теорема доказана.

Заметим, что в случае, когда точки не лежат на одной прямой, в неравенстве треугольника строгое неравенство. Отсюда следует, что в любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон.

Неравенство треугольника является одной из аксиом метрики.

2.В случае, если а и в основания и h высота, формула площади: