1.4.2 Метод простой итерации Для решения системы

Пусть нам дана система нелинейных алгебраических уравнений

φ1=¦1(φ1,φ2)

φ2=¦2(φ1,φ2).

Для нахождения корней φ1 и φ2 этой системы часто пользуются методом простой итерации

φ1(n+1)=¦1(φ1(n),φ2(n)),

φ2(n+1)=¦2(φ1(n),φ2(n)), где n=0,1,2,…

Надо заметить, что если процесс итерации сходится, то предельные значения

φ1=limφ1(n),

n®¥

φ2=limφ2(n).

n®¥

обязательно являются корнями системы.

Для решения уравнения

Для его использования исходное уравнение записывается в виде:

x = F(x).

Пусть известно начальное приближение корня x=c0. Подставляя это значение в правую часть уравнения получаем, новое приближенение:

c1 = F(c0).

Далее, подставляя каждый раз, новое значение корня в уравнение получаем последовательность значений (рис.4):

cn+1 = F(cn), n = 1,2,…

Достаточным условием сходимости метода простой итерации является условие:

Y

N₂

N₁

N_{0 С2}

C₁

O C₀ X

рис.4

1 .4.3 Метод Ньютона Для решения системы Рассмотрим систему нелинейных алгебраических уравнений

¦1(φ1,φ2)=0,

¦2(φ1,φ2)=0.

Для решения этой системы можно воспользоваться методом последовательных приближений. Допустим, что у нас есть начальные приближения φ10 и φ20, тогда (φ1-φ10) и (φ2-φ20) – погрешности решения. Предполагая, что функции f1 и f2 непрерывно дифференцируемы в некоторой выпуклой области, разложим левую часть уравнений по степеням, ограничиваясь линейными членами

.

Решая эту систему линейных уравнений, найдем новое приближение (j11,j21) и повторим всю эту процедуру снова до тех пор, пока погрешности решения не будут удовлетворять заданному условию:

, где d – заданная величина и n=0,1,2,…

1.5 Выбор метода решения

Для решения системы уравнений (I) выбран метод Ньютона. Метод Ньютона обладает быстрой сходимостью и, несмотря на то, что этот метод чувствителен к начальному приближению, во многих случаях можно обеспечить его сходимость правильно подобрав начальное приближение.

Для решения уравнения (2) был выбран метод деления отрезка пополам, т.к. этот метод прост в реализации и обладает устойчивой сходимостью при варьировании начального приближения.

Выбранные методы решения реализованы в виде программы на ЭВМ, выполненной на языке программирования PASCAL. Программа составлена в форме двух блоков: внутреннего и внешнего. Внутренний блок – решение системы уравнений, определяющей геометрию пневмооболочки; внешний блок – решение уравнения, в котором происходит подбор одного из давлений.

Исходными данными программы являются: длина поперечного сечения пневмооболочки, координаты точек крепления и соприкосновения с поверхностью, коэффициент трения, величина обжатия, начальное давление в пневмооболочке и давление в подушке, начальные приближения геометрии. В результате решения программа выдает значения углов, радиусов, координат центров тяжести, внешней нагрузки, длины дуги, давление в пневмооболочке.