2.2 Математическая постановка задачи

Общие уравнения.

1. Уравнение движения платформы:

.

Оболочка не обжата.

2. Уравнение расходов.

W- объем воздушной подушки (ВП), W = W(t). Давление в ВП мало отличается от атмосферного (Ратм ~ 100000 , 0 < Рвп < 3000…10000 на порядок меньше)

Масса воздуха в ВП:

Уравнение расходов воздуха в ВП: .

– плотность воздуха в воздушной подушке.

– погонная расходно-напорная характеристика вентилятора (определяется экспериментально, ).

В первом приближении для всего аппарата:

(линейная зависимость)

(“аккорд-201”)

При длине подушки L = 5м

(погонный расход) = - 0,00034286 + 2,4.

– погонный расход истечения воздуха через зазоры ВП.

– отстояние нижней точки скега до земли.

Связь между давлением и плотностью в ВП – баротропная, адиабатическая.

(n = 1.4).

Откуда

(*) .

(Δ)

Из (*)

Тогда еще раз учитывая (*)

Подставляем в (Δ)

Или, окончательно

3. Система уравнений оболочки до контакта (квазистатика).

В первом приближении считаем, что до контакта оболочка характеризуется только двумя зонами: зоной действия давления со стороны ВП и внешней зоной, где действует атмосферное давление.

Тогда форма поперечного сечения оболочки представляет собой две дуги окружности неизвестного радиуса и центра.

Касательные внешние силы отсутствуют, следовательно

1. 

(3.1) – условия постоянства сил натяжения по длине поперечного сечения оболочки.

(3.2)

(3.3)

(3.2),(3.3) – геометрические условия склейки дуг.

(3.4)

(3.4) – линейная связь между внутренними силами и удлинением поперечного сечения оболочки.

– раскройная длина поперечного сечения.

– приведенный модуль упругости материала.

Уравнение для давления в оболочке выводится из условия постоянства массы закаченного в оболочку воздуха в предположении его адиабатического состояния.

(3.5)

– начальное, избыточное давление в оболочке, когда она представляет собой круговой сегмент (задается).

– начальная площадь поперечного сечения (задается).

– текущее давление в оболочке.

– текущая площадь поперечного сечения.

В необжатом состоянии:

Т.о. система уравнений необжатой (до контакта) оболочки имеет вид:

,

,

(3) ,

,

.

1. и 2. (уравнения движения и расхода) – дифференциальные, поэтому систему нелинейных алгебраических уравнений целесообразно представить в дифференциальном виде.

Дифференцируя все уравнения по t имеем:

3.1)

3.2)

3.3)

3.4)

3.5)

С учетом уравнений (1) и (2) получается система из 7 дифференциальных уравнений. Её надо привести к нормальному виду.

нет производных в правой части (нормальный вид).

Последовательность

В нормальном виде система дифференциальных уравнений 8 порядка:

1. 

2. 

ВВ’ – задается (для “аккорда-2001” ВВ’=1,9м)

где

Уравнение (3) в виде, не готовом для интегрирования

a11 = 1,

a12 = 0,

a13 = ,

a14 = ,

a15 = 0,

a16 = 0,

b1 = .

4)

a21 = - r1,

a22 = r1 – r2,

a23 = Рб – Рвп,

a24 = 0,

a25 = - Рб,

a26 = 0,

b2 = 0.

5)

a31 = 0,

a32 = 0,

a33 = sinφ1,

a34 = r1 cosφ1,

a35 = sinφ2,

a36 = r2 cosφ2,

b3 = 0.

6)

a41 = 0,

a42 = 0,

a43 = 1 – cosφ1,

a44 = r1sinφ1,

a45 = - (1 – cosφ2),

a46 = - r2sinφ2,

b4 = 0.

7)

a51 = 0,

a52 = - ,

a53 = φ1,

a54 = r1,

a55 = ,

a56 = r2,

b5 = 0.

8)

a61 = 0,

a62 = ,

a63 = ,

a64 = ,

a65 = ,

a66 = ,

b6 = 0.

Алгоритм решения (до контакта).

Исходные данные:

H0, , Рвп0, Рб0, r10, r20, φ10, φ20 – начальные условия.

H0 = 1м,

= 1м,

Н = -3м/с,

Рб0 = 1000Н/м2,

Ризб = Рвп = 0,

r1 = r2 = 0.21м,

φ1 = φ2 = 2.3рад,

ТЕ = 100000Н/м2.

Геометрические данные и массовые данные: S0, BB’, m.

m = 270 кг/м,

ВВ’ = 1.9м,

S0 = 0.123375236м2,

L0нат = 0,96629434м.

Параметры состояния:

Ратм = 100000Н/м2,

ρатм = 1,25кг/м3.

Интегрируется система дифференциальных уравнений методом Эйлера:

Hi+1 = Hi + ∆t

Hi+1 = Hi + ∆t

= с1 Рвпi+1 = Рвпi + c1i∆t

= с2 Рб i+1 = Рб i + с2i∆t

= c3 r1i+1 = r1i + c3i∆t

= c4 φ1i+1 = φ1i + c4i∆t

= c5 r2i+1 = r2i + c5i∆t

= c6 φ2i+1 = φ2i + c6i∆t

где с1,c2,c3,…,c6 – результаты решения системы линейных алгебраических уравнений:

a11 + а12 + а13 + a14 + a15 + a16 = b1,

… …………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

a61 + a62 + а63 + a64 + a65 + a66 = b6.

На каждом шаге интегрирования (метод Гаусса с выбором главного элемента).

Интегрирование проводится до момента времени, когда зазор становиться нулевым, т.е.

= 0 => H = r1 – r1cosφ1

С момента времени, соответствующего = 0, начинается второй этап.

На втором этапе оболочка становится обжатой и структура уравнения оболочки (группа уравнений (3)) меняется.

r2sinφ2 = b0 – r1sinφ1 ( 9 )

r1(1 – cosφ1) = r2(1 – cosφ2) (10 )

Условие нерастяжимости нитки дает ещё одно уравнение:

r1φ1 + r2φ2 = l0 (11)

Объединяя уравнения (8), (9), (10), (11), а также уравнение (2), получаем систему пяти нелинейных алгебраических уравнений относительно неизвестных r1, r2, φ1, φ2 и Рб.

( Рабс + Рб0)S0 = (Рабс + Рб)S,

(Рб - Рк)r1 = Рбr2,

r2sinφ2 = b0 – r1sinφ1, (12)

r1(1 – cosφ1) = r2(1 – cosφ2),

r1φ1 + r2φ2 = l0.

Проанализируем систему (12). Если площадь S, ограниченная ACB и AB, найдена, то при заданном Рб0 из первого уравнения (12) легко определяется давление в оболочке Рб. Вместе с тем, давление Рб0 не входит в последние четыре уравнения системы (12). Это позволяет упростить решение задачи. В самом деле, если считать давление Рб заданным, то первое уравнение можно выделить из системы и решать его относительно начального давления в оболочке Рб0 после нахождения величин r1,r2, φ1, φ2 из оставшихся четырех уравнений системы.

Алгоритм решения (после контакта).

Обжатая оболочка.

Система уравнений примит вид:

( Рб - Рвп) r1 = Рбr2,

r2(1 – cosφ2) = H,

r1 (1 – cosφ1) = H,

r1φ1 + r2φ2 +XA –XB – r2sinφ2 – r1sinφ1 –l0нат – = 0

(Ратм + Рб)S n = (Ратм + Рб0)S0n.

При обжатии оболочки площадь воздушной подушки изменится:

L = BB’ + 2(XA – r2sinφ2).

Первое и второе уравнения остаются без изменений, остальные меняются следующим образом.

Третье уравнение:

r2(1 – cosφ2) = H =>

a31 = 0,

a32 = 0,

a33 = 0,

a34 = 0,

a35 = 1 – cosφ2,

a36 = r2sinφ2,

b3 = .

Четвертое уравнение:

r1(1 – cosφ1) = H =>

a41 = 0,

a42 = 0,

a43 = 1-cosφ1,

a44 = r1sinφ1,

a45 = 0,

a46 = 0,

b4 = .

Пятое уравнение:

r1φ1 + r2φ2 + XA – XB – r2sinφ2 – r1sinφ1 – l0нат – = 0

a51 = 0,

a52 = - ,

a53 = φ1 – sinφ1,

a54 = r1(1 – cosφ1),

a55 = φ2 – sinφ2 – ,

a56 = r2(1 – cosφ2),

b5 = 0.

Вертикальная сила рассчитывается по следующей формуле:

Y = Рвп(BB’ + 2r1sinφ1) + 2Рбал(XA – XB – r2sinφ2 – r1sinφ1).

Шестое уравнение:

(Ратм + Рб)S n – (Ратм + Рб0)S0n = 0.

.

a61 = 0,

a62 = S n,

a63 = ,

a64 = ,

a65 = ,

a66 = ,

b6 = .