Непараметричні ситуації прийняття рішень. Приклади.

D – множина дій, С – множина наслідків, Ψ(D) = C_D C, Ψ: D 2^C – кожній дії ставиться у відповідність набір наслідків.

Z_Л = {D, C, Ψ( )} – схема непараметричної ситуації.

M_Л = {Z_Л, I_Л} – модель непараметричної ситуації. I_Л – дані про ситуацію.

Непараметричні ситуації:

Їде герой на коні з коханою за спиною та з багатством на ремені, перед ним камінь, на якому написано: "Наліво поїдеш - багатство втратиш", "Прямо поїдеш - коня втратиш", "Направо поїдеш - кохану втратиш"...

Дії - поїхати наліво, або в іншому напрямку. Наслідки - втратити коня/нічого, любов/нічого etc. З цього випливає що на наслідках для кожної дії є деякий розподіл. Функції втрат явно немає але втрати можуть бути "прошиті"(явно описані) у кожному наслідку для кожної окремої дії.

Модель відрізняється від схеми наявністю інформації.

Таким чином, матрична модель прийняття рішення - це параметрична ситуація, з відомими розподілами (ймовірностями) невідомого параметру ω.

Матрична модель прийняття рішення (позначається Z_M) характеризується наступними елементами: Z_M={Θ, U, C, g( )}

Θ - множина розподілів невідомого параметру θ (θ Θ еквівалентно до ω Ω - два різні записи позначень невідомого параметру (малий значок) та множини невідомих параметрів (великий значок) )

U - множина дій (альтернатив) u U або d D - два еквівалентні позначення.

С - множина наслідків (consequence), c C

g( ) - оператор відображення, яка кожній дії d, з розподілом невіодомого параметру ω однозначно відтворює наслідок g: Ω x D C; (g(ω,d))

Лотерейна модель прийняття рішення - це непараметрична ситуація з розподілами (ймовірностями) настання наслідку над діями.

Лотерейна модель прийняття рішення (позначається Z_Л) характеризується наступними елементами: Z_Л={U, C, ψ( )}

U - множина дій (альтернатив) u U або d D - два еквівалентні позначення.

С - множина наслідків (consequence), c C

ψ( ) - функція переходу, яка за кожною дією u однозначно співставляє наслідок с: ψ(u) c_u, c_u C

3. Еквівалентність матричної та лотерейної схем ситуації.

M₁(Z₁,I₁)=(U,C,ψ(.),(I_1u,u U)) – лотерейна модель СПР;

M₂(Z₂,I₂)=((Θ,U,C,g(.,.)),I₂) – матрична модель СПР;

M₁→M₂→M₁

Θ={θ (U→C):θ(u) C_u, u U}

g(θ,u)=θ(u), θ Θ, u U

τ(Z₁)=Z₂ – процес параметризації

ψ(u)={g(θ,u):θ Θ}, u U

χ(Z₂)=Z₁ - зтиснення

χ(τ(Z₁))=Z₁

S₁=(Z₁,I₁)

Закономірність (регулярність) I₁, заданна у формі розподілів вірогідності над наслідками С=(с₁,с₂,…,с_l) так, що I₁={Q_k,k= }, Q_k=(q_k(c₁),q_k(c₂),…,q_k(c_l)), де m - число рішень.

Передбачаючи, що наслідки c_ik і c_vj, де к,j і v,i - ПОВНІСТЮ НЕЗАЛЕЖНІ.

Тоді закономірність I₂ через визначення розподілів вірогідності над задається таким чином:

I₂=P(Θ)=(p(θ₁),p(θ₂),…,p(θ_n),n=l^m),

де θ_μ, μ - важка випадкова подія, яка складається з простох подій c_kμ, k і:

Card(Θ)=Card(C^u),

p(θ_μ)= (p_k(c_iμ)), μ

Перехід від лотерейної до матричної ситуації прийняття рішень та повернення до тієї ж ЛСПР. За постановкою задачі: Маємо множину дій (альтернатив) D (1), маємо множину наслідків C (2), наслідки (3), та розподіли наслідків над діями (4):

(1) D = {d1, d2, d3, d4}.

(2) C = {c1, c2, c3, c4}.

(3) C(d1) = {c2, c4}, C(d2) = {c1, c3, c4}, C(d3) = {c1, c2}, C(d4) = {c3, c4}.

(4) Р(d1) ={0.75, 0.25}, Р(d2) ={0.2, 0.4, 0.4}, Р(d3) ={0.7, 0.3}, Р(d4) ={0.8, 0.2}.

А

би перейти із лотерейної моделі ситуації до матричної необхідно ввести розподіл невідомого параметру ω: 1)Спочатку визначаємо кількість параметрів - це буде число=дія1(кількість наслідків)*дія2(кількість наслідків)*...*дія_остання(кількість наслідків) Неважко порахувати: 2*3*2*2=24 параметри. 2)Кожний параметр окремо це ніби шлях від першої дії до останньої через наслідки по всім діям, наприклад один із можливих шляхів: ω₁={ c₂->c₁->c₁->c₂} <=> (d₁->d₂->d₃->d₄) .Отже кількість параметрів це скількома різними способами можна взяти з кожної дії по одному наслідку, таких у нашому випадку - 24.

4)Кожному параметру можна однозначно співставити маршрут по наслідках над діями, значення розподілу випадкового параметру - це добуток усіх розподілів наслідків, з яких він утворився.

У

нашому випадку: P(ω₁)=P(d1_c2)*P(d2_c1)P(d3_c1)*P(d4_c2)=0.75*0.2*0.7*0.8=0.084 Після процедури обрахунків, ми отримали такі вихідні дані:

Колонка зліва - розподіли випадкового параметру. Колонка зправа - по суті функція g(ω,d) - співставляє кожному вхідному параметру ωi та дії dj єдине значення сk.

Також, якщо дивитись по горизонталі - для кожного параметру записаний його маршрут, всьго таких маршрутів 24.

Тепер, як перейти із утвореної матричної моделі у лотерейну:

У нас є: {d1, d2, d3, d4}, пробігаючи по стовпчикам під кожною дією отримаємо, які у нас є наслідки на діях.

Треба знайти: розподіли наслідків на діях.

По суті вони зашиті в розподілах параметру ω.

Як їх дістати: Коли ми у нашій таблиці зафіксуємо цікаву нам дію (наприклад стовпчик d1), а також відсіюючи з цього стовпчика цікавий нам наслідок (наприклад c2), тоді пробігаючи по всіх значеннях розподілу невідомого параметру ωi ( 1<= i <= 24 ). І додаючи значення цих розподілів, в сумі ми отримаємо значення розподілу на наслідку с2 над дією d1.

P(d1c2)=Pr(W=ω1)+Pr(W=ω2)+Pr(W=ω3)+Pr(W=ω2)+Pr(W=ω4)+Pr(W=ω5)+Pr(W=ω6)+Pr(W=ω7)+Pr(W=ω8)+Pr(W=ω9)+Pr(W=ω10)+Pr(W=ω11)+Pr(W=ω12)=0.75

Узагальнена форма запису: