10. Теорема фон Неймана-Моргенштерна про очікувану корисність

А ксиоматика:

11. Теорема Севіджа про суб’єктивну імовірність.

* это максимум что я нашла*

12. Увігнуті та опуклі функції, Нерівність Йенсена. Баєсів ризик.

О пукла функція — функція, яка визначена на опуклій множині лінійного простору, і задоволняє нерівності

при всіх λ [0, 1].

Нехай область визначення опуклої функції f(x) лежить в скінченовимірному просторі, тоді f(x) неперервна в будь якій внутрішній точці цієї області.

Нехай x₁, ..., x_m — будь які точки із області визначення опуклої функції f(x), λ₁, ..., λ_m — невід'ємні числа, які в сумі дорівнюють 1. Тоді

Якщо f(x) — двічи неперервно диференційована опукла функція, то матриця її других похідних напівдодатньо визначена.

Нерівність Йєсена

Нехай функція опукла вниз. Тоді для будь-якої випадкової величини ξ зі скінченним першим моментом

Лема

Нехай функція опукла. Тоді для будь-якого у знайдеться число с(у) таке що при всіх х .

Доведення

Візьмемо в умовах леми . Тоді .Обчислимо математичне сподівання обох частин нерівності. Оскільки, і нерівність між математичними сподіваннями зберігається із наслідку (1), тоді

Наслідок (1):

Наслідок математичного сподівання:

• Якщо ξ ≤ η, тоді Mξ ≤ Mη

• Якщо ξ ≤ η, і при цьому Mξ = Mη тоді ξ ≤ η

Нерівність Йeнсена , - опукла, , , , має місце нерівність .

Д оведення: Оскільки , . Проведемо дотичну в точці до функції : .

Кінець доведення.

Якщо функція сильно опукла , то знак заміняють на .

Якщо функція опукла вгору, то знак заміняють на протилежний.

Наслідок Нехай - середній прибуток( - прибуток), якщо - інтерпритувати як виграш гравця в деякій грі і функція корисності гравця опукла(сильно опукла), тоді згідно нерівності Йенсена і нехай маємо гру, в якій , то ця нерівність доводить, що гравець, у якого функція корисності опукла буде грати. А для гравця, у якого функція корисності опукла вгору, маємо і він грати не буде.

Функція ризику

- множина рішень

- функція втрат

- випадкова величина при кожному рішенні ( - рішення, - випадок) на ймовірносному просторі

- ризик

Оптимальне рішення – це таке рішення у якого ризик мінімальний, якщо :

Оптимальне рішення може не існувати.

Нехай , тобто функція ризику обмежена знизу, тоді

оптимальний ризик завжди існує

- оптимальний ризик – функція, що залежить від розподілу.

Твердження - опукла вгору функція від розподілу.

Доведення: . Візьмемо - розподіл, тоді = . Тоді за властивістю маємо:

Кінець доведення.

Байєсівський ризик

Розглядаючи задачу рішення з простором параметрів Ω, простором рішень D і функцією втрат L.

Для певного розподілу Р параметру W, баєсівський ризик ρ*(P) – це точна нижня грань ризиків ρ (P,d) по всіх ризиках d.

ρ*(P)=inf_{d є D} ( ρ(P,d) ).

Кожне рішення, ризик якого рівний баєсівському ризику називається баєсівським рішенням при розподілі Р. тобто, ρ(P,d*) = ρ*(P) => d* -- баєсівське.

Виявляється, можлива ситуація, коли немає баєсівського рішення – таке можливо тільки тоді, коли нижня грань за формулою баєсівської границі не досягається ні при одному d є D.

Тоді, вибирається баєсівське рішення, яке «достатньо мало» відрізняється від баєсівського.