Тема 7. Эмм систем массового обслуживания.

7.1. Основные понятия и определения.

Система массового обслуживания (СМО) – это совокупность приборов, каналов, станков, линий обслуживания, на которые в случайные или детерминированные моменты времени поступают заявки на обслуживание. Например, коммутаторы телефонных станций, супермаркет, парикмахерские.

Оптимизация и оценка эффективности СМО состоит в нахождении средних суммарных затрат на обслуживание каждой заявки и нахождение средних суммарных потерь от заявок не обслуженных.

СМО состоит из определенного числа обслуживающих каналов и предназначена для выполнения заявок с разным характером распределения момента времени на обслуживание.

Моделирование СМО предполагает:

1. построение ЭММ, связывающих параметры СМО (число каналов, их производительность и т.п.) с показателями эффективности;

2. оптимизацию данных показателей с целью получения максимальной эффективности.

7.2. Классификация и обозначение смо.

По ряду признаков СМО делятся на:

1. СМО: - с очередями;

- с отказами заявок (очереди);

2. СМО с очередью: - в порядке очереди;

- в случайном порядке;

- обслуживание с приоритетом (абсолютным или относительным);

3. СМО с многофазным обслуживанием;

4. СМО: - закрытые (замкнутые) – поток заявок генерируется самой системой;

- открытые – характер потока заявок не зависит от состояния СМО;

5. СМО: - одноканальные;

- многоканальные.

Обозначения СМО.

Для сокращения записи и характеристик СМО принята общемировая система записи по формату Кендола.

( a  b  c ) : ( d e f )

a –характеризует закон распределения заявок входного потока;

b - характеризует закон распределения интервалов выполнения заявок на обслуживание;

c - характеризует количество каналов обслуживания;

d - характеризует дисциплину очереди;

e - характеризует максимальное количество требований (заявок) на обслуживание (е в очереди + е в обслуживании);

f – максимальный объем источника (генератора) заявок.

Пример.

GI G  N

GI - данная позиция характеризует, что момент заявок, поступающих на обслуживание, распределен по случайному закону с функцией распределения F(x) с математическим ожиданием .

F(x) – любой закон распределения;

G - данная позиция характеризует моменты распределения (временные интервалы) обслуживания заявок с любой функцией распределения H(x) и со средним временем обслуживания .

( M₁  M₂  N ) : - характеризует, что поток заявок, поступающих на обслуживание как входящий поток, подчиняется закону Пуассона с функцией распределения ,

 - интенсивность потока заявок;

M₁ – простейший поток заявок;

N – количество мест по обслуживанию заявок;

M₂ – характеризует поток обслуживания и распределения времени обслуживания также по простейшему Пуассоновскому закону с функцией распределения ,

 - характеризует интенсивность потока обслуживания.

Простейший поток обладает тремя свойствами:

1. стационарностью;

2. безпоследействия;

3. ординарностью.

Стационарность – это когда вероятность попадания того или иного числа заявок на интервал времени длиной  зависит от длины этого интервала и не зависит от того, где этот интервал расположен на оси времени.

Поток безпоследействия – когда для любых не перекрывающихся участков времени число заявок, попадающих на один из участков, не зависит от числа заявок, попадающих на другой участок.

Ординарность – это когда вероятность попадания на участок  двух или более заявок пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одной заявки.

Поток, обладающий вышеназванными тремя свойствами, называется простейшим (стационарным, Пуассоновским ) потоком.

Эрланговский поток – «просеянный» простейший поток с коэффициентом k = (2;3;4...), то есть когда обслуживается каждая 2,3,...,k заявка.

E_ E_ N_M – эрланговский входной поток заявок E_ и эрланговский закон обслуживания E_.