Магнитные цепи и методы их расчета

Основные понятия и определения

Совокупность устройств, содержащих ферромагнитные тела и образующую замкнутую цепь, в которой при наличии магнитодвижущей силы образуется магнитный поток и вдоль которой замыкаются линии вектора магнитной индукции, называют магнитной цепью.

Основными элементами любой магнитной цепи являются источники магнитодвижущей силы для создания магнитного потока и магнитопровод. В качестве источников магнитодвижущей силы применяются обмотки с токами или постоянные магниты, а в качестве магнитопровода — ферромагнитные материалы.

Магнитное поле, как указывалось ранее, характеризуется магнитной индукцией В и напряженностью Н. Эти величины связаны между собой соотношением В=μН. Но магнитная проницаемость ферромагнитных материалов зависит от их собственного магнитного состояния и изменяется с изменением напряженности магнитного поля. Поэтому зависимость В=μН для ферромагнитных материалов нелинейна и не имеет удобного аналитического выражения. В связи с этим для характеристики ферромагнитных материалов по данным эксперимента строят кривые намагничивания В =f(Н).

В конструктивном отношении магнитные цепи могут быть неразветвленными и разветвленными, а также однородными и неоднородными. В неразветвленной магнитной цепи (рис.5, а) магнитный поток не разветвляется и во всех участках имеет одну и ту же величину. В разветвленной магнитной цепи (рис.5, б) магнитный поток разветвляется в узлах цепи и в ветвях в общем случае имеет различные значения. Если магнитопровод состоит из однородного материала и имеет по всей длине одинаковое сечение, то магнитная цепь с таким магнитопроводом называется однородной. Если же магнитопровод состоит из двух или более разных материалов или имеет разные сечения участков, то такая магнитная цепь называется неоднородной.

Расчет магнитных цепей сводится к решению двух основных задач.

Первая заключается в определении магнитодвижущей силы по заданному магнитному потоку или магнитной индукции в одном из участков магнитопровода.

Вторая же задача состоит в определении магнитного потока или магнитной индукции по заданной величине магнитодвижущей силы.

В основе расчета магнитных цепей лежит закон полного тока, который можно выразить обобщенной формулой:

w.

Левая часть этого выражения определяет магнитодвижущую силу, а правая полный ток. Поэтому в расчетах магнитных цепей произведение Iw обычно называют магнитодвижущей силой (м.д.с.) и обозначают буквой F.

Отметим, что магнитодвижущая сила вызывает магнитный поток в магнитной цепи подобно тому, как электродвижущая сила вызывает ток в электрической цепи. М.д.с., как и э.д.с., имеет направление. Ее положительное направление на схемах обозначается стрелкой.

а) б)

Рис.5. Виды магнитных цепей: а) неразветвленная однородная магнитная цепь; б) разветвленная неоднородная магнитная цепь

Законы магнитных цепей

Соотношение, устанавливающее связь между магнитодвижущей силой, магнитным потоком и магнитным сопротивлением, принято называть законом магнитной цепи. Установим это соотношение для однородной и неоднородной магнитных цепей.

Пусть имеется однородная магнитная цепь (рис.5, а), содержащая w витков. Очевидно, что число токов, охватывающих эту цепь, будет равно числу витков. Поэтому закон полного тока для такой цепи может быть записан в следующем виде:

.

Так как в однородной магнитной цепи Н=const вектор Н совпадает с элементом пути dl и, следовательно, cos(Hdl)=1, то, взяв интеграл вдоль средней замкнутой магнитной линии, получим:

Hl =Iw .

В однородной магнитной среде Ф=BS=μHS отсюда Н=Ф/ . Подставляя это значение Н в уравнение (2) и решая его относительно магнитного потока Ф, найдем:

,

где R_м = - магнитное сопротивление однородной магнитной цепи.

Таким образом, магнитный поток прямо пропорционален магнитодвижущей силе и обратно пропорционален магнитному сопротивлению.

Если магнитная цепь состоит из различных участков (рис.6), то величина Н только в пределах каждого участка остается постоянной, т.е. Н_к=сonst. Поэтому интегрирование можно заменить суммированием:

.

Следовательно, закон полного nока выразится соотношением:

.

Рис.6. Неразветвленная неоднородная магнитная цепь

Принимая во внимание, что на всех участках цепи Ф = const и, следовательно, Н_к= , получим выражение закона для неоднородной магнитной цепи: Ф = Если магнитопровод будет иметь несколько катушек с различным числом витков и различными силами токов, то общая магнитодвижущая сила будет равна алгебраической сумме и тогда: Ф = .

Помимо закона магнитной цепи для разветвленных магнитных цепей, в частности для цепи на рис.7, могут быть получены зависимости, аналогичные законам Кирхгофа для электрических цепей, если заменить силу тока I на поток Ф, э.д.с. Е на м.д.с. Iw и электрические сопротивления г на магнитные сопротивления R_м. В результате для каждого узла, учитывая принцип непрерывности магнитного потока, можно написать:

,

т.е. алгебраическая сумма магнитных потоков, сходящихся в узле магнитной цени, равна нулю. Это соотношение аналогично первому закону Кирхгофа.

В соответствии со сказанным выше для любого контура магнитной цепи можно написать равенство:

,

т.е. алгебраическая сумма магнитодвижущих сил, действующих в замкнутом контуре магнитной цепи, равна алгебраической сумме произведений магнитного сопротивления на магнитный поток во всех участках замкнутого контура. Это уравнение аналогично второму закону Кирхгофа.

Рис. 7. Разветвленная симметричная магнитная цепь

Направление м.д.с. связано с направлением тока в обмотке и определяется по правилу буравчика. Знаки у м.д.с. и произведений R_мФ при составлении уравнений для магнитных цепей выбираются так же, как и при составлении уравнений по второму закону Кирхгофа для электрических цепей.

Расчет неразветвленных магнитных цепей

Рассмотрим порядок расчета неоднородной и однородной неразветвленных магнитных цепей без учета потока рассеяния.

Определение м.д.с. по заданному магнитному потоку для неоднородной магнитной цепи производится в следующем порядке.

1. Разбивают магнитную цепь (рис.6) на отдельные участки, отличающиеся друг от друга неоднородностью материалов или различным сечением магнитопровода, и определяют среднюю длину и сечение каждого участка.

2. По заданному магнитному потоку и сечениям участков магнитопровода определяют индукцию В_k, для каждого участка по формуле В_k=Ф/S_k.

3. Пользуясь полученными значениями В_k находят Н_k, для каждого ферромагнитного участка по кривым намагничивания (рис.8), а для неферромагнитных участков — по формуле:

H₀=B₀/μ, где μ₀=4π10^-7Гн/м.

4. Определяют магнитодвижущую силу:

Iw=H₁l₁+H₂l₂+H₃l₃+..+H_kl_k .

5. Задаваясь силой тока, определяют число витков катушки w=Iw/I или, наоборот, задаваясь числом витков, определяют силу тока.

Рис.8. Кривые намагничивания некоторых ферромагнитных материалов

При расчете однородной цепи (рис.5) эта задача решается в следующем порядке:

а) находят длину и сечение магнитопровода и определяют магнитную индукцию В=Ф/S;

б) по кривой намагничивания и значению В находят напряженность Н и определяют м.д.с. Hl=Iw;

в) задаваясь силой тока или числом витков, определяют нужную величину.

Если требуется более точный расчет магнитной цепи, то учитывают поток рассеяния. Обычно этот учет производится умножением расчетного потока Ф на коэффициент рассеяния σ, который в зависимости от длины зазора колеблется от 1,1 до 1,5. Чем больше воздушный зазор, тем больше коэффициент рассеяния.

Определение магнитного потока по заданной м.д.с. производят следующим образом. Если магнитная цепь однородна, то исходя из Hl=Iw, определяют напряженность в магнитопроводе H=Iw/l. Зная Н, по кривой намагничивания находят В, а затем определяют магнитный поток Ф=ВS, где S— сечение магнитопровода.

Если магнитная цепь неоднородна, то решение этой задачи усложняется, так как неизвестны м.д.с. учаcтков. В этом случае задачу можно решить графоаналитическим методом. для этого нужно задаться произвольно несколькими значениями магнитного потока и определить соответствующие им м.д.с. По результатам расчета построить кривую Ф=f(Iw) (рис.9).

Рис.9. Кривая намагничивания магнитной цепи

Для нахождения первой точки этой кривой надо выбрать участок магнитной цепи с самым большим магнитным сопротивлением и заданную м.д.с. приравнять к м.д.с. выбранного участка Iw=H_kl_k. Из этого равенства найти Н_k, и по кривой намагничивания определить В_k а затем найти Ф=В_kS. Если же участком с большим R_м является воздушный зазор, то В_k, определяется по формуле B_k=μ₀H_k и затем находится Ф. Это значение будет несколько завышенным.

Поэтому надо взять ряд величин магнитного потока несколько меньшего значения и произвести указанные выше операции. По кривой Ф= f(Iw) найти Ф для заданной магнитодвижущей силы.

Расчет разветвленных магнитных полей

Разветвленные магнитные цепи могут быть симметричными и несимметричными. Симметричную цепь (рис.10) можно разделить на составные неразветвленные цепи таким образом, что во всех участках выделенной цепи магнитный поток будет один и тот же. При этом предполагается, что магнитодвижущие силы расположены симметрично. Магнитная цепь будет несимметричной (рис.6), если указанные условия не соблюдаются.

При расчете симметричной магнитной цепи необходимо разделить ее по оси симметрии на отдельные части и произвести расчет одной из них так же, как и расчет неразветвленных магнитных цепей. При этом если решается первая задача, то при расчете общий магнитный поток надо делить на число симметричных ветвей. Если же решается вторая задача, то для получения общего магнитного потока надо найденный поток ветви умножить на число симметричных ветвей.

Рис.10. Разветвленная несимметричная магнитная цепь

Расчет несимметричной разветвленной магнитной цепи обычно производят графическим методом подобно расчету нелинейных электрических цепей. В частности, для такого расчета рассматриваемой цепи (рис.10) строят кривые Н_кl_k=f(Ф_к), для каждого участка в отдельности по известным кривым намагничивания материалов. При этом ординаты кривой В=f(H) умножают на сечение участка, а абccцисы – на длину соответствующего участка.

Рис.11. К расчету разветвленной несимметричной магнитной цепи

По полученным значениям для каждого участка строят кривые F₁=f(Ф₁), F₂=f(Ф₂) и F₃=f(Ф₃) (рис.11). После этого складывают абсциссы кривых F₂=f(Ф₂) и F₃=f(Ф₃), находя кривую F_ab=f(Ф₁), а затем ординаты кривых F_ab=f(Ф₁) и F₁=f(Ф₁), получая результирующую кривую F= F₁+F_ab. По полученной кривой и заданному магнитному потоку находят значения магнитодвижущей силы.

Нелинейные цепи со сталью

Нелинейными цепями со сталью называются цепи, содержащие катушки индуктивности с сердечника из ферромагнитных материалов. К таким цепям относятся электромагниты различных приборов и аппаратов транс форматоры и электрические машины. Индуктивные элементы цепи со сталью на схемах принято изображать (рис.13) в виде сердечника с обмоткой или обмотки с нанесенной около нее чертой (сердечник).

а) б) в)

Рис.13. Цепь со сталью и ее схема

Нелинейность цепи со сталью объясняется тем, что магнитная проницаемость μ стали непостоянна. Соответственно индуктивность катушки со стальным сердечником оказывается нелинейной. В результате при синусоидальном напряжении на зажимах цепи со сталью ток в ней имеет несинусоидальную форму. Явление гистерезиса и вихревые токи, имеют место в цепи со сталью, вносят дополнительные изменения в форму кривой тока.

Потери в сердечниках из ферромагнитных материалов

Экспериментально установлено, что при нахождении ферромагнитного сердечника в переменном магнитном поле наблюдается процёсс его перемагничивания, который протекает по несовпадающим ветвям петли гистерезиса (рис.13). Площади этих петель в координатах В и Н характеризуют энергию, выделяющуюся в единице объема ферромагнитного материала за одно перемагничивание, т.е. за один период переменного тока

Потери мощности на перемагничивание стали пропорционально частоте f и определяются по эмпирическим формулам, например по такой:

P_г= σ_гfB_mⁿG,

где σ_г – коэффициент, характеризующий свойства стали и зависящий от ее сорта; он приводится в справочниках для различных ферромагнитных материалов;

B_m – амплитуда магнитной индукции;

n – показатель, равный 1,6 при B_m = 1,0 – 1,6 Т;

G – масса рассматриваемой части сердечника.

При циклическом перемагничивании в стальном сердечнике возникают вихревые токи. Эти токи вызывают нагрев стали, обусловливая тем самым дополнительные потери энергии. С целью ограничения этих потерь сердечники изготовляются из тонких листов пластин, изолированных друг от друга, или из тонкой ферромагнитной ленты, туго свитой и также покрытой соответствующей изоляцией. Сердечники, предназначенные для работы в полях высокой частоты, изготовляют из специальных ферромагнитных материалов, в частности магнитодиэлектриков и ферритов.

Потери мощности от вихревых токов определяются по следующей эмпирической формуле:

Р_в = σ_в f² B_m²G,

где σ_в — коэффициент, зависящий от сорта стали и размеров листов сердечника; он приводится в справочниках для различных ферромагнитных материалов.

Суммарные потери в сердечнике от гистерезиса и вихревых токов называются потерями в стали Р_с=Р_г +Р_в или полными магнитными потерями магнитопровода.

Определение силы тока в цепи со сталью

Определение силы тока в цепи со сталью обычно производится графическим методом. Сначала рассмотрим определение силы тока без учета явления гистерезиса.

а) б) в)

Рис.14. Цепь со сталью и определение тока в ней

Будем считать, что активное сопротивление R невелико и влияние вихревых токов незначительно. При этих допущениях цепь оказывается чисто индуктивной. Для нахождения силы тока в такой цепи обычно используется кривая намагничивания В=f(H), которая перестраивается в зависимости Ф=f(i). Так как для данной цепи магнитный поток пропорционален В и ток пропорционален напряженности поля, то кривые Ф= f(i) и В=f (H) подобны.

Пусть катушка с ферромагнитным сердечником (рис.14, а) включена под синусоидальное напряжение u =U_msinωt, тогда переменный ток, протекающий по ее обмотке, возбуждает в сердечнике переменный магнитный поток Ф. Последний индуцирует в обмотке э.д.с. е= - wdФ/dt. Эта э.д.с. уравновешивает приложенное напряжение:

u = U_msinωt = -e= w . Отсюда находим:

Ф= ,

т.е. магнитный поток изменяется по закону синуса с амплитудой:

Ф_m = U_m/(ωw) = U .

Следовательно, имея зависимость Ф=f(i) (рис.14, б) и синусоиду Ф=f(t)), можно построить кривую тока i= f(t) (рис.14, в). Это построение осуществляется путем переноса ординат Ф=f(t) на кривую Ф=f(i) и определения соответствующих данных ординатам значений тока. Полученная кривая, как видно из графика, отличается от синусоиды. Она симметрична относительно оси абсцисс и совпадает по фазе с кривой магнитного потока.

Действующее значение силы тока в цепи определяется на основании закона полного тока или с использованием поправочного коэффициента:

I = I = ,

где Н_mk — напряженность поля на участке магнитопровода, определяемая по кривой намагничивания;

l_k – длина к-го участка сердечника;

I_m – амплитуда основной кривой силы тока;

k_п - поправочный коэффициент, который для электротехнических сталей при В<1 Т близок к единице; при В=1,2 Т k_п =1,1; при В>1,4 Т коэффициент k_п начинает быстро увеличиваться.

Нахождение силы тока в цепи со сталью с учетом явления гистерезиса и указанных выше допущений приведено на рис.15. В таком случае кривая тока строится по петле гистерезиса Ф=f(i) по кривой магнитного потока Ф=f(t), как и в первом случае. Причем ординаты кривой тока для первой четверти определяются по абсциссам восходящей ветви петли гистерезиса, а для второй — по абсциссам нисходящей ветви. Соответственным образом определяются ординаты кривой тока для третьей и четвертой четвертей. Полученная кривая тока несинусоидальная, при этом магнитный поток отстает по фазё от тока. Фазовый угол α, характеризующий опережение тока, называется углом магнитных потерь или углом магнитного запаздывания. Этот угол тем больше, чем больше влияние гистерезиса. Действие вихревых токов приводит к еще большему увеличению угла магнитного запаздывания.

Рис.15. Определение тока в цепи со сталью с учетом гистерезиса

Пример

Определить н.с. и ток катушки, если в воздушном зазоре магнитной цепи рис.16 требуется получить магнитную индукцию В_в = 1,4 Т. Число витков катушки w = 1000, кривая намагничивания стали приведена на рис.17.

Рис.16. Неразветвленная магнитная цепь

Решение. Разбив магнитную цепь на участки, находим их длины и площади поперечного сечения:

Аналогично находим:

Магнитный поток: Ф=В_в∙S_в = 1,4 ∙10^-6=8,4∙10^-4Вб.

Магнитные индукции:

В= , В₃=В₄=В_в=1,4Т.

По кривой намагничивания рис. 17 находим:

Н₁=3А/см=300А/м, Н₂=4А/см=400А/м, Н₃=Н₄=30А/см=300А/м.

Рис.17. Кривая намагничивания

Напряженность в воздушном зазоре: Н_в= .

По закону полного тока н.с. с катушки:

Iw= H₁l₁+H₂l₂+H₃(l₃+l₄)+H_вl_в= (300∙225,5+400∙117,5+3000∙133+112∙10⁴∙2)∙10^-3=2754 А.

Ток катушки: