Трехфазные электрические цепи

Основные понятия и определения

Трехфазной системой электрических цепей называется совокупность трех электрически связанных однофазных цепей, в которых действуют синусоидальные э.д.с. одинаковой частоты, взаимно сдвинутые по фазе на одну треть периода. Причем каждая отдельная фаза трехфазной системы сокращенно называется фазой.

Совокупность э.д.с. или напряжений, действующих в трехфазной цепи, называется трехфазной системой э.д.с. или напряжений. Совокупность же токов, протекающих в трехфазной цепи, называется трехфазным током или трехфазной системой токов.

Трехфазный ток можно получить от трехфазного генератора. Устройство такого генератора схематически показано на рис.57. Он состоит из двух основных частей: неподвижной части, называемой статором, и вращающейся части, называемой ротором. На статоре уложены три одинаковые фазные обмотки А, В, С, смещенные относительно друг друга на 120⁰. Начала фазных обмоток обозначены А, В, С, а концы – Х, Y, Z. Ротор же представляет собой вращающийся электромагнит, полюса которого имеют специальную форму, благодаря чему магнитная индукция в воздушном зазоре распределяется по синусоидальному закону.

Рис.57. Схема синхронного генератора

Если ротор генератора вращать с постоянной скоростью, то в обмотках статора будут индуцироваться э.д.с. одной и той же частоты, имеющие одинаковые амплитуды, но в соответствии с пространственным расположением обмоток сдвинутые друг относительно друга на угол 120⁰. Если при этом фазные обмотки генератора замкнуть на элементы с одинаковыми по величине и характеру сопротивлениями, то в цепи будут протекать три тока, составляющие симметричную систему токов.

Э.д.с. в фазах генератора называются фазными и обозначаются е_А , е_В , е_С . Приняв за начало отсчета времени момент, при котором э.д.с. фазы А равна нулю, уравнения фазных э.д.с. генератора можно записать в следующем виде:

е_А= Е_msinωt; е_В=Е_msin(ωt -120⁰); е_С =Е_msin(ωt – 240⁰).

Э.д.с., индуцируемые в каждой из фазных обмоток, создадут на концах своих обмоток фазные напряжения. Эти напряжения можно записать в виде следующих уравнений:

u_А= U_m sinωt; u_B=U_msin(ωt -120⁰); u_C = U_msin(ωt – 240⁰).

Соответственно уравнения сил токов в фазах можно записать следующим образом:

i_A =I_m sin(ωt- φ); i_A =I_m sin(ωt-120⁰- φ); i_A =I_m sin(ωt-240⁰- φ).

В символической форме действующие значения указанных величин соответственно запишутся так:

=Ue^j0; =Ue^j(-120); =Ue^j(-240);

= Ee^j0; = Ee^j(-120); = Ee^j(-240);

= Ie^j(-φ); = Ie^j(-120—φ); =Ie^j(-240-φ).

Рис.58. Временная и векторная диаграмма э.д.с. трехфазного генератора

На рис.58 представлены временная и векторная диаграмма трехфазной симметричной системы э.д.с. Такими же диаграммами изображаются симметричные системы токов и напряжений. Из диаграммы видно, что э.д.с. в фазах достигают своих положительных максимальных значений в таком порядке: E_Am→E_Bm→E_Cm. Такой порядок чередования называют прямой последовательностью фаз. При обратном вращении ротора генератора получается обратная последовательность фаз E_Am→E_Сm→E_Вm. Прямая последовательность фаз считается нормальной.

Одним из важных свойств трехфазных симметричных систем э.д.с., напряжений и токов является то, что сумма мгновенных значений э.д.с., напряжений или сил токов в любой момент времени равна нулю:

e_A+ e_B + e_C = 0; u_A+u_B + u_C = 0; i_A + i_B + i_C = 0.

. Соединение фаз трехфазных цепей

Основными видами соединения фаз трехфазных цепей являются соединения по схеме звезды и по схеме треугольника. При этом фазы генераторов и потребителей можно соединить звездой или треугольником независимо друг от друга, например: генератор может быть соединен звездой, в приемник – треугольником или звездой. В этих схемах за положительное направление э.д.с. и тока в каждой фазе генератора условно принимают направление от конца фазы к ее началу, а в приемнике, наоборот, от начала к концу.

Соединение по схеме звезды

Под соединением звездой понимается такое соединение фаз генератора или потребителя, при котором концы всех фаз соединяются в общую узловую точку , а их начала - с проводами, соединяющими генератор и потребитель. Узловая точка называется нейтральной или нулевой, а провод , соединяющий нулевые точки генератора и потребителя – нулевыми или уравнительными. Провода, соединяющие начала фаз генератора с началом фаз потребителя, называются линейными. Схема звезды с нулевым проводом называется четырехпроводной, а без нулевого провода – трехпроводной. На рис. 59 изображена четырехпроводная схема трехфазной системы.

Напряжения на зажимах фаз генератора или потребителя называются фазными, а напряжения между линейными проводами – линейными. Фазные напряжения обозначаются U_A, U_B, U_C, а линейные напряжения – U_AB, U_BC, U_CA. Токи разделяются также на фазные и линейные. Фазными называются токи, протекающие по фазам, а линейными – по линейным проводам. Фазные силы токов обозначаются I_AB, I_BC, I_CA, а линейные – I_A, I_B,I_C. Находят также применение общие обозначения U_Ф, I_Ф, U_Л, I_Л.

Рис.59. Трехфазная система по схеме звезды

Установим соотношения между фазными и линейными величинами при соединении звездой. Из схемы (рис.59) видно, что при выбранных положительных направлениях токов и напряжений линейные токи равны соответствующим фазным токам, а линейные напряжения согласно второму закону Кирхгофа (u_AB+u_B–u_C=0) равны разности соответствующих фазных напряжений. Применяя символический метод, получим:

= – ; = – ; = – .

На основании приведенных соотношений на рис.60 построена векторная диаграмма напряжений в соответствии с принятым положительным направлением токов.

Установим соотношение между линейными и фазными напряжениями при соединении звездой. Из полученных на диаграмме треугольников, связывающих фазное и линейное напряжения, имеем , откуда U_л= 2U_ф или U_л = .

Рис.60. Векторная диаграмма при соединении звездой

Системы фазных и линейных напряжений источников обычно симметричны. Приемники же могут нагружать все фазы равномерно или неравномерно. При равномерной нагрузке фаз тока в нулевом проводе нет и необходимость в таком проводе отпадает. При неравномерной же нагрузке ток в нулевом проводе есть и комплекс его силы равен сумме

= + + .

В этом случае нулевой провод необходим, иначе изменения нагрузки в одной фазе будут приводит к изменению силы тока и напряжения в других фазах, что на практике является нежелательным. Действительно, предположим, что в фазы (рис.61, а) включены лампы одинаковой мощности и что сопротивления фазы А и фазы С одинаковы, а сопротивления фазы В в два раза меньше. Если при этом произошел обрыв нулевого провода, то появится нарушение первого закона Кирхгофа + + =0 для трехпроводной системы, образовавшейся после обрыва нулевого провода. Это нарушение восстанавливается путем изменения , , , а это обеспечивается соответствующим изменением , , . В результате происходит изменение угла сдвига между , , и, как следствие, смещение нулевой точки по линии вектора фазного напряжения (рис.61, б).

В случае короткого замыкания фазы В крайним положением нулевой точки будет вершина угла треугольника напряжений. Если же произойдет обрыв фазы В, то нулевая точка сместится на сторону, противоположную вершине этого угла. Фазы же А и С окажутся включенными последовательно под линейное напряжение U_CA, которое распределится между ними поровну. Это вызовет плохой накал ламп той и другой фаз.

а) б)

Рис.61. Векторные диаграммы несимметричной трехпроводной системы

Относительным преимуществом соединения генераторных обмоток звездой является возможность иметь у потребителя некоторую систему напряжений. Так, при соединении фазных обмоток генераторов звездой с заземленной нейтралью при фазном напряжении генератора 220 В у потребителя получим систему напряжений 220/380 В.

Соединение по схеме треугольника

Соединением по схеме треугольник называется такое соединение фаз генератора или потребителя, при котором конец первой фазы соединяется с началом второй, конец второй – с началом третьей и конец третьей – с началом первой, а узловые точки соединяются с линейными проводами. На рис.62 представлена схема такого соединения.

Установим соотношения между фазными и линейными величинами при соединении треугольником. Из схемы видно, что при этом соединении линейные напряжения равны соответствующим фазным напряжениям U_л=U_ф, а линейные силы токов согласно первому закону Кирхгофа равны разностям соответствующих фазных сил токов. Оперируя комплексами, получим: = – , = – , = – (1).

Рис.62. Трехфазная система по схеме треугольник

Фазные токи могут быть определены по формулам:

= / ; = / ; = / .

На рис.63 изображена векторная диаграмма при симметричной нагрузке (φ>0) для приемника, фазы соединены треугольником. Фазные токи отстают от фазных напряжений на угол φ, а линейные токи определены на диаграмме в соответствии с формулой (1). Из векторной диаграммы следует, что линейные токи присоединении треугольником в раз больше фазных и отстают от соответствующих фазных по фазе на 30⁰, т.е. I_л= I_ф. Из схемы соединения (рис.63) видно, что линейные и фазные напряжения при соединении треугольником равны: U_л = U_ф.

Рис.63. Векторные диаграммы токов и напряжений при соединении

треугольником

Особенностью соединения фаз приемника треугольником является то, что изменение режима одной из фаз приемника не отражается на режиме других фаз, т.к. они подключены к неизменным линейным напряжениям источника питании. Изменяться будут лишь линейные токи в проводах, связанных с этой фазой. Поэтому схему соединения треугольником используют для включения несимметричных однофазных приемников в трехпроводную сеть.

Особые режимы работы трехфазной цепи

Рассмотрим работу трехфазных цепей при несимметричной нагрузке. Если нагрузка несимметричная, то такие потребители можно соединять треугольником или четырехпроводной звездой, т.к. трехпроводная звезда не обеспечивает нормального режима работы.

При несимметричной нагрузке токи в фазах будут различными: . Если потребитель соединить звездой без нейтрального провода (рис.64,а), то система фазных напряжений будет несимметричной.

Как видно из векторной диаграммы (рис.64, б), между нейтральными точками симметричного генератора N и несимметричного приемника n появится так называемое напряжение смещения нейтрали UnN . Таким образом, напряжения на фазах будут различными, что не обеспечивает нормального режима работы этих потребителей.

а) б)

Рис.64. Несимметричная нагрузка при соединении звездой с нейтральным проводом (φ=0): а) схема; б) векторная диаграмма

Если к такой цепи подключить нейтральный провод (рис.64, а), который соединит точки N и n, то по нему пойдет уравнительный ток, который выравнит фазные напряжения и обеспечит нормальный режим работы каждого потребителя. Ток нейтрального провода = + + изображен на векторной диаграмме (рис.64, б).

Если несимметричный потребитель соединен треугольником (рис.65,а), то режим работы каждой фазы будет нормальным, так как каждая фаза работает от генератора независимо от двух других.

а) б)

Рис.65. Несимметричная нагрузка при соединении треугольником (φ=0): а) схема; б) векторная диаграмма

Как видно из векторной диаграммы (рис.65, б), линейные токи также будут неравными.

При изучении трехфазных цепей важно уметь анализировать аварийные режимы, например, обрыв линии, обрыв фазы или короткое замыкание фазы.

Если обрыв фазы произойдет в четырехпроводной звезде, то ток в этой фазе будет равен нулю, а две другие фазы будут работать нормально, т.к. напряжения на этих фазах будут оставаться такими же, какими были до обрыва. Этот режим является частным случаем несимметричной нагрузки при соединении четырехпроводной звездой.

При обрыве линии А в трехпроводной звезде (рис.66) две другие фазы окажутся соединенными последовательно на линейное напряжение U . Тогда напряжения на этих фаз: = = , т.е. понизятся. Токи при этом будут I_A=0; I_B=I_C= .

а) б)

Рис.66. Обрыв линии при соединении приемника трехпроводной звездой (φ=0): а) схема; б) векторная диаграмма

При обрыве фазы у потребителя, соединенного треугольником (рис.67), две другие фазы продолжают работать нормально.

а) б)

Рис.67. Обрыв приемника при соединении треугольником (φ=0): а) схема; б) векторная диаграмма

В фазе, где произошел обрыв, ток будет равен нулю ( =0). Напряжения на двух оставшихся фазах останутся прежними: U =U =U . При Z =Z и токи будут равны: I =I . Линейные токи определятся из следующих выражений:

I_A= I_ав – I_са= - I_ca; I_B =I_вс – I_ав = I_вс; I_C = I_ca - I_bc.

Эти соотношения выполнены на векторной диаграмме (рис.67, б).

При обрыве линейного провода А (рис.68) все три приемника продолжают получать питание, включаясь на одно, оставшееся в наличии напряжения U . При этом фаза Z продолжает работать нормально: , а две другие фазы включаются последовательно на напряжение U =U . Ток в этих фазах при Z = Z будет I_ca = I_ав= .

Диаграмма (рис.68, б) изображена для случая симметричной нагрузки.

а) б)

Рис.68. Обрыв линии при соединении приемника треугольником (φ=0): а) схема; б) векторная диаграмма

При эксплуатации трехфазных цепей могут возникнуть короткие замыкания в фазах источников. Режим длительной работы при замкнутом накоротко приемнике одной фазы возможен только в схеме трехпроводной звезды. Например, при коротком замыкании фазы А потенциал точки n оказывается равным потенциалу точки А (рис.69), значит две другие фазы окажутся под линейными напряжениями, т.е. напряжения на этих фазах возрастут в .

Напряжения на фазах будут: U_а=0; U_в=-U_АВ; U_C=U_CA .

Соответственно линейные токи I_В и I_C возрастут в , а ток в проводе А будет I_л = -I_A-I_C, что и выполнено на векторной диаграмме (рис.69). Из диаграммы видно, что ток I_A увеличится в .

а) б)

Рис.69. Режим короткого замыкания фазы А приемника, соединенного звездой (φ=0): а) схема; б) векторная диаграмма

Короткое замыкание фазы при соединении потребителей звездой с нейтральным проводом или треугольником приведет к короткому замыканию фазы питающего устройства, т.е. генератора, и к перегоранию ее предохранителя. Этот режим является аварийным.

Знание процессов, происходящих при особых и аварийных режимах, позволяет принять верное решение, когда произойдет такой режим, или не допустить его.

Мощность трехфазных цепей

Для трехфазных цепей характерны те же понятия и определения мощностей, что и для однофазного переменного тока.

Мгновенная мощность трехфазной цепи есть сумма мгновенных мощностей трех фаз:

р = р_а + р_в + р_с = u_а i_а + u_в i_в + u_c i_c .

Активная мощность трехфазной цепи независимо от способа соединения также равна сумме активных мощностей отдельных фаз системы:

Р = U_AI_A cosφ_A + U_BI_Bcosφ_B + U_CI_C cosφ_C .

Если трехфазная система симметрична, то все фазные напряжения, фазные токи и углы сдвига равны между собой и, следовательно, активная мощность трехфазной системы определится формулой Р= 3U_фI_фcosφ.

Переходя к линейным величинам для симметричной системы при соединении звездой и треугольником, соответственно получим:

Р= 3U_фI_фcosφ= 3 cosφ = U_лI_лcosφ – соединение звездой;

Р= 3U_фI_фcosφ = 3 cosφ = U_лI_лcosφ – соединение треугольником.

Отметим, что приведенные выражения мощностей не означает, что при пересоединении потребителя со звезды на треугольник или наоборот мощности не изменяются. Например, при пересоединении симметричного потребителя со звезды на треугольник при заданном линейном напряжении фазные токи увеличиваются в , а линейный ток – в 3 раза, и поэтому мощность увеличивается в 3 раза.

Реактивная мощность трехфазной системы представляет алгебраическую сумму реактивных мощностей каждой фазы Q = U_АI_Аsinφ_А + U_ВI_Вsinφ_В + U_СI_Сsinφ_С .

При равномерной нагрузке фаз реактивные мощности отдельных фаз равны и, следовательно, Q = 3U_фI_фsinφ.

Полная мощность трехфазной симметричной системы определяется формулой

S = 3 U_фI_ф = U_лI_л .