21.1.1 Бірқалыпты жинақтылық. Функционалдық қатарларға қолданылатын амалдар

Анықтама 3. (1) қатары облысында мажорланған деп аталады, егер үшін :

теңсіздігі орындалатындай,

, (2)

таңбалары оң жинақты сандық қатар табылса.

Мысал 2.

қатары барлық сан осінде мажорланған екені анық, өйткені, , ал - қатары жинақты қатар (мысал 5).

облысында мажорланған қатар, осы облысында абсолютті жинақты. .

Анықтама 4. аралығында жинақты (1) қатары бірқалыпты жинақты деп аталады, егер барлық үшін

болса.

Теорема 2. аралығында мажорланған (1) қатары осы кесіндіде бірқалыпты жинақты.

2-теоремадан мажорланған қатар болу бірқалыпты жинақтылықтан да күшті шарт екенін көреміз, яғни, бірқалыпты жинақталатын, бірақ мажорланған емес қатарлар табылады.

Теорема 3. (1) қатары аралығында бірқалыпты жинақты және - оның қосындысы болсын. Онда егер:

1. - табылса, онда

2. қатардың мүшелері - аралығында үзіліссіз болады

15.Функционалдық қатарды интегралдау мен дифференциалдау.

Теорема. функционалдық қатары қатары аралығында бірқалыпты жинақты және - оның қосындысы болсын. Онда егер:

1. - табылса, онда

2. қатардың мүшелері - аралығында үзіліссіз және функциясы да аралығында үзіліссіз болса, онда

, яғни, қатарды мүшелеп интегралдауға болады.

Теорема. Егер (1) қатары аралығында жинақты болса, , ал

қатары аралығында бірқалыпты жинақты болса, онда

_,

яғни, қатарды мүшелеп дифференциалдауға болады.

16.Евклидтік кеңістіктер.Ашық,тұйық жиындар.Көп айнымалы функция.Анықталу және мәндер облысы.

Анықтама. Екі (үш) айнымалы функция деп, анықталу облысы жазықтықтағы

(кеңістіктегі) кейбір ішкі жиындар қурайтын, ал мәндер облысы E нақты сандар осіне

жататын, функцияны айтады.

Егер D Oxy жазықтығында ал E Oz өсінде жатса онда екі айнымалы функцияны мына

z = f (x, y) түрде жазамыз.

Егер D ⊂ Oxyz, ал E ⊂ Ou , онда үш айнымалы функцияны мына түрде

u = f (x, y, z) жазымыз.

Анықтама. Радиусы r -ге тең жазықтықтағы М( (немесе кеңістіктегі) нүктесінің аймағы деп центрі M нүктесіндегі радиусы r -ге тең

шеңберсіз дөңгелекті (немесе сфеарасыз шарды) айтады.

Мұндай аймақты ( ) арқылы белгілейміз.

Жазықтықта ( ) мына теңсіздігімен анықталады:

ал кеңістікте –

Анықтама. Егер M нүктесінің радиусы r -ге тең кез келген аймағы D жиынымен

және оның толықтауыш жиынымен қиылысатын болса, онда M нүктесі D жиынының шекаралық нүктесі деп аталады.

D жиынының барлық шекаралық нүктелері осы жиынның шекарасы деп аталады және

Γ(D) деп белгіленеді.

Анықтама. Γ(D)шекарасын қамтитын D жиынын жабық (тұйық) жиын деп

атаймыз. Бірде – бір шекаралық нүктесін қамтымайтын D жиыны ашық жиын деп аталады.

Мысалдар.

1) аймағы өз шекарасының бірде – бір нүктесін қамтымайды – шеңберді (немесе сфераны), сондықтан – ашық жиын.

2)

теңсіздігімен жазықтықта берілген дөңгелек өз

шекарасын – шеңберді қамтиды:

сондықтан ол – жабық жиын.

3) Жазықтықтың ширегі мына теңсіздіктермен

анықталған және Oy өсіндегі шекаралық бөлігін қамтиды және Ox осінде шекараның бөлігін қамтымайды. Бұл жиын ашық та, жабық та емес.