19.Бағыт бойынша туынды.Градиент.Айқын емес функцияның дербес туындылары.

u = u(x, y, z) үш айнымалы функциясы берілсін. Осы функцияның

нүктесінен бірлік векторының бағытымен қозғалысының жылдамдығынқарастырайық. векторын бағыттаушы косинустар арқылы анықтайық:

Бізге векторының бағыттаушысымен берілген нүктесінен өтетін l түзуі параметрлік теңдеуімен берілсін.

бірлік вектор болғандықтан t параметрінің Δt шамасына өлшемі l түзуінің бойымен ұзындығы Δt кесіндісіне орын ауыстырғанын білдіреді, ал t = 0 болса нүктесіне сәйкес келеді.

Анықтама. векторы бағыты бойынша нүктесіндегі u = u(x, y, z)

функциясының туындысы деп t = 0 болғандағы l түзуіндегі t бойынша осы функцияның шектеу туындысын айтады. (3- сурет)

Бұл туынды мына түрінде белгіленеді.

Егер бұл векторы i, j, k базистік векторларының біреуімен сәйкес келсе, онда

бұл анықтамаға сәйкес дербес туындыны береді, немесе ,

Егер a бірлік вектор болмаса, онда

дербес туындысы

-мен анықталады, мұндағы

бірлік вектор a векторына коллинеар.

u = u(x, y, z) функциясының векторы бағыты бойынша туындысының формуласын

алайық. Ол үшін (1) деп x, y, z -ті u -ға қойсақ:

соңдықтан

Анықтама u = f (x, y, z) функциясының дербес туындылар-координаталары

болатын вектор 2 функцияның градиенті деп аталады және былай белгіленеді:

- ді u градиент арқылы өрнектейтін (2)-ден басқа формуланы аламыз:

Кез келген a векторы үшін

болғандықтан,

Егер

-ді нүктесінде есептеу керек болса, онда gradu – да жоғарыдағы

формулаларымен осы нүктеде есептеу керек болады.

Мысал u(x, y, z) = x − 3 z + y функциясымен берілген дененің

M(1;−2;−1) нүктесіндегі a =12i – 3j + 4k вектор бағытындағы температура өзгеру

жылдамдығын есептеу керек. Ол үшін дербес туындылар мен u өрісінің градиентін табамыз:

формула бойынша есептейміз

3. Теорема Айталық ( , ) нүктесінің маңайында z = F(x, y) функциясы және ,

дербес туындылары үзіліссіз болсын, мұнда F( , ) = және ≠ 0. Сонда F(x, y) = 0 теңдеуі нүктесінің маңайында дифференциалданатын y = y(x)

функциясын анықтайды және оның туындысы

тең.

Мысал. + − = 0 теңдеуімен берілген функцияның y′ туындысын табалық.

Анықтама. F(x, y, z) = 0 теңдеуімен берілген z = z(x, y) функциясын екі айнымалының айқын емес функциясы деп атайды.

4. Теорема Айталық нүктесінің маңайында u = F(x, y, z) функциясы және

оның , , дербес туындылары үзіліссіз болсын, мұнда

F =0 и ≠ 0 , сонда F(x, y, z) = 0 .

теңдеуі ( , ) нүктесінің маңайында дифференциалданатын z = z(x, y)

функциясын анықтайды және оның дербес туындылары

тең.

20.Дербес және толық дифференциалдар.Дифференциалдың қолданылулары.

Функцияның толық өсімшесінің дербес өсімшелерден айырмашылығы - барлық

айнымалылары өзгеріп отыратындығында.

Анықтама z = f (x, y) функциясының ( , ) нүктесіндегі аргументтердің Δx,Δy

өсімшелеріне сәйкес толық өсімшесі деп мына айырманы айтады:

Δf = f ( + Δx, + Δy)− f ( , ). (1)

Мысал f (x, y)= xy , = 3 , = 4 , Δx = Δy = 0,1 (алдыңғы мысалды қара).

( , ) нүктесіндегі толық өсімшені табайық:

Δf = ( + Δx)( + Δy)− = + Δy + Δx + ΔxΔy − =

= Δy + Δx + ΔxΔy = 0,3 + 0,4 + 0,01= 0,71.

Бұл өсімше табандары 3,4 болатын тік төртбұрыштың әр қабырғасын 0,1 - ге

өсіргендегі тік төртбұрыштың ауданының өсімшесіне тең.

2 суретте толық Δf өсімшесі екі штрихтелген аудандарына және оған

қабырғасы 0,1 - ге тең квадраттың ауданы қосылған.

Анықтама Егер z = f (x, y) функциясының ( , ) нүктесіндегі толық өсімшесін

Δf = AΔx + BΔy + α(Δx,Δy)Δx + β(Δx,Δy)Δy,

мұндағы A,B - тұрақты, α,β - шексіз аз (Δx,Δy)→(0,0) жазуға болатын болса, онда

df = AΔx + Bδy функцияның ( , ) нүктесіндегі толық дифференциалы деп аталады. Толық дифференциалды функция өсімшесін негізгі бөлігі деп атайды.

Белгілі бір нүктеде толық дифференциалы бар функция осы нүктеде дифференциалданатын функция деп аталды.

1 теорема z = f (x, y) функциясы және оның дербес fx′, f y′ туындыларды

( , ) нүктесінің кейбір аймағында үзіліссіз болсын. Онда z = f (x, y) функциясы ( , ) нүктесінде дифференциалданады және оның толық дифференциалы дербес

дифференциалдардың қосндысына тең:df = fx′dx + f y′dy (2)

Дәлелдеуі Толық өсімше Δf − ті былай түрлендірейік:

Δf = f ( + Δx, + Δy)− f ( , ) = ( f ( + Δx, + Δy)− f ( , + Δy))+ ( f ( , + Δy)− f ( , ) ) =(әр айырмаға Лагранж теоремасын қолданайық) = f x′ (xc , + Δy)Δx + f ′y( ,yc )Δy,мұндағы xc ∈[ , + Δx], yc ∈[ , + Δy]. fx′, f y′ үзіліссіздіктерінен

және

шығады. Сондықтан бұл дербес туындыларды мына түрде жазуға болады:

f x′ (xc , + Δy) = f x′( , ) + α(Δx,Δy),

f y′ ( , yc ) = f y′( , ) + β(Δx,Δy),

α,β − (Δx,Δy)→(0,0)- шексіз аз шамалар.

Сондықтан Δf = ( f x′( , ) + α)Δx + ( fy′( , ) + β)Δy = f x′ ( , )Δx + f y′ ( , ) Δy + αΔx + βΔy ,

анықтама бойынша df = fx′( , ) Δx + f y′ ( , )Δy болады.