Правило исследования функции на выпуклость вогнутость кривой и нахождения точек перегиба графика функции.
1. Находим область определения функции, а заодно устанавливаем интервалы ее непрерывности и точки разрыва (стандартное начало любого исследования функции).
2. Находим вторую производную y′′=f′′(x).
Находим те точки (значения x), в которых вторая производная функции или равна нулю, или не существует. Для этого надо решить уравнение y′′=0 и найти область определения y′′.
3. Наносим все найденные (подозрительные на перегиб) точки на область определения функции (на ось ох) и отмечаем (например, дугами) интервалы, на которые разобьется этими дугами область определения функции. В каждом из этих интервалов выясняем знак второй производной y′′=f′′(x). По установленным знакам этой производной отмечаем интервалы выпуклости (выпуклости вверх) и вогнутости (выпуклости вниз) функции (при y''< 0 – выпуклость, при y''> 0 – вогнутость), а также точки перегиба функции.
4. Вычисляем значения функции y=f(x) во всех найденных точках ее перегиба и находим тем самым точки перегиба графика функции.
Пример:Исследовать
на выпуклость и точки перегиба функцию
у =
-
Проведём исследование по схеме:
1. Функция у =
-
многочлен, а это значит, что она имеет
область определения – множество R.
2. Найдём
=
-
y'' =
-6.
3. Найдём точки, в которых y'' = 0: - 6 = 0 ⇒ х = 1; y'' – существует при любом значении х.
4. Отметим на оси
(ох) точку х = 1. Определим знаки y'' слева
и справа от точки х = 1. Слева y''
,
а это означает, что на промежутке (
1) выпуклость графика имеет направление
вверх. Справа от точки х = 1 y''
,
это значит, что на промежутке (1;
выпуклость графика имеет направление
вниз.
Асимптоты графика функции: вертикальные, горизонтальные, наклонные.
Определение.
Асимптотой графика
функции
называется прямая (кривая) линия, к
которой стремится линия графика, но не
пересекает её.
Различают три типа асимптот: горизонтальные, вертикальные и наклонные.
1.Прямая
линия
является
вертикальной асимптотой графика
,
если хотя бы один из пределов(правосторонний
или левосторонний)
.
Прямая
может быть вертикальной асимптотой и
в том случае, если
- точка разрыва второго рода или граничная
точка области определения. Например,
в точке
.
Следовательно, определение
вертикальных асимптот функции совпадает
с нахождением точек разрыва второго
рода.
2. Прямая
является
горизонтальной асимптотой,
если
.
При условии
,
находят правостороннюю горизонтальную
асимптоту
,
если
,
то
— левосторонняя горизонтальная
асимптота.
3. Наклонные
асимптотыописываются общим уравнением
прямой линии на плоскости, то есть
.
Значит, в отличие от вертикальных
асимптот, здесь необходимо определить
числа
и
.
.
Зная
,
рассмотрим снова предел:
.
Он выполняется лишь при условии, что
.
Таким образом, найдены
и
,
а с ними и уравнение наклонной асимптоты.
Если
,
то получаем частный случай горизонтальной
асимптоты
.
При невозможности
найти хотя бы один предел (при вычислении
или
)
делается вывод, что наклонной асимптоты
нет.
На рисунке 2 изображены вертикальная и наклонная асимптоты.
Пример 1.
Решение:Найдём вертикальную асимптоту.
Точка х = -1 является точкой разрыва
2-го рода, причём
,
.
Затем находим наклонные асимптоты:
;
Таким образом, получаем уравнение
наклонной асимптоты
Пример 2.
Решение: Вертикальных асимптот здесь нет, поскольку точки разрыва 2-го рода отсутствуют. Найдём наклонную асимптоту:
Таким образом, уравнение наклонной асимптоты имеет вид у = х.