Формула интегрирования по частям.
Теорема:Пусть функции u(x)
и v(x)
определены и дифференцируемы на
промежутке Х и функция
имеет
первообразную на этом промежутке. Тогда
функция
также имеет первообразную на промежутке
X, причём справедлива
формула
(1)
С учётом вида дифференциалов функций
и
данное равенство часто используется в
форме
(2)
Равенство (2) называется формулой интегрирования по частям.
Большая часть интегралов, которые вычисляются посредством интегрирования по частям, может быть разбита на три группы:
интегралы представлены в виде
,
,
,
и т.д.
интегралы представлены в виде
,
,
и
т.д.
интегралы представлены в виде
,
,
,
производится двукратное интегрирование по частям и решается уравнение относительно интеграла.
Примеры:
Интеграл, относящийся к первому виду.
,
Интеграл, относящийся ко второму виду.
Интеграл, относящийся к третьему виду.
В результате двойного интегрирования
по частям получили исходный интеграл.
Обозначим его за I. Тогда
получаем уравнение:
Следовательно:
+С.
Практические задания:
Найти неопределенный интеграл:
а)
непосредственное
интегрирование;
b)
метод
подстановки;
в)
метод
интегрирования по частям;
метод
интегрирования по частям.
Тема 6: «Определённый интеграл».
Определение и площадь криволинейной трапеции.
Фигура на плоскости Оху, ограниченная
графиком непрерывной и положительной
функции
на отрезке
,
отрезком
и вертикальными прямыми
и
,
называется криволинейной трапецией
(рис.1).
Рис. 1
Величина площади криволинейной трапеции
равна определённому интегралу от функции
на отрезке
:
(1)
В этом заключаетсягеометрический смысл определённого интеграла
Формула Ньютона-Лейбница. Формула Ньютона-Лейбница это основная формула интегрального исчисления:
где
F(x)
– первообразнаяфункцииf(x).
(1)
Пример 1.
.
Пример 2.
Пример 3.
Пример 4.
Пример 4. Найти площадь фигуры,
ограниченной графиком функции
,
осью Ох и прямой
.
Р
ешение:Отрезок
интегрирования:
(рис.2), так что искомая площадь равна:
Пример 5. Найти площадь фигуры,
ограниченной линиями
.
Р
ешение:Вычислим
абсциссы точек пересечения указанных
кривых, для чего приравняем правые части
этих уравнений:
.
Корни этого уравнения равны
Следовательно, площадь фигуры, ограниченной
сверху функцией
и снизу функцией
(рис.3) вычисляется с помощью определённого
интеграла на отрезке
:
О бъём тела вращения
Объём тела, образованного при вращении вокруг осиОх криволинейной трапеции, ограниченной сверху непрерывной и положительной на отрезке функцией (рис. 4), определяется формулой
(3)
Если тело образовано вращением криволинейной трапеции вокруг оси Oy, то, выражая хчерезу как обратную функцию, можно получить формулу для объёма тела вращения:
,
где
- область изменения функции
Рассмотрим примеры вычисления объёмов тел, образованных вращением фигур, ограниченных следующими линиями.
Пример 1.
вокруг оси Ох.
Решение:Искомый объём равен разности
объёмов, образованных вращением
криволинейных трапеций с верхними
границами соответственно
и
.
Пределы интегрирования определяются
по точкам пересечения этих кривых:
и
.
По формуле (7.12) получаем
Пример 2.
вокруг оси Оу.
Решение:Выражаем х через у:
;
промежуток интегрирования
.
Объём тела вращения (рис.5) равен разности
объёмов соответственно цилиндра радиуса
1 и высоты е и тела вращения вокруг
оси Оу криволинейной трапеции,
ограниченной сверху кривой
.
По формуле нахождения объёма при вращении
тела вокруг оси Oy
получаем
