2. Точки і лінії

Представлення графічних зображень за допомогою пристроїв виведення графічної інформації здійснюється точками і лініями. Можливість перетворення точок і ліній є основою комп’ютерної графіки. При використанні комп’ютерної графіки, можна за бажанням конструктора змінювати масштаб зображення, обертати його, зміщувати і трансформувати для поліпшення наочності перспективного зображення об'єкта.

2.1 Представлення точки

На площині точку представляють за допомогою 2-ох її координат. Їх можна розглядати як елементи матриці [x; y], тобто у вигляді вектор-рядка. Її можна розглядати і у вигляді вектор-стовпця , в просторі: .

Послідовність точок, кожна з яких характеризується значеннями координат вектора, щодо обраної системи координат, може бути представлена в ЕОМ як матриця чисел. Положенням цих точок управляють шляхом перетворення матриць. Їх можна відтворювати за допомогою програмних або апаратних засобів обчислювальної техніки.

2.2 Перетворення і матриці

Елементи, які утворюють матрицю, характеризуються різними числовими значеннями, такими як, займаний ними обсяг пам’яті, а також структурою або коефіцієнтами системи рівнянь. Допустимі дії над цими матрицями визначаються правилами векторної системи:

1. складання

2. множення

3. віднімання

4. зворотна матриця

5. транспонування

Багато фізичних задач можна привести до наступного формулювання: нехай дано 2 матриці A і B, і вказано їх взаємозв'язок AT=B, нам необхідно знайти матрицю перетворень.

В цьому випадку рішенням є , де зворотна матриці A. Матриця A – квадратна.

З іншого боку тут T матрицю, можна розглянути як оператор. В цьому випадку, перемножування матриць, використано для того щоб виконати геометричні перетворення над системою точок, представлених за допомогою векторів положення, які містять координати в матриці A. Матриці A і T передбачаються відомими. Це необхідно для того, щоб визначити елементи матриці B.

Інтерпретація матричного множення як геометричного оператора є основою математичних перетворень, які використовуються в машинній графіці.

2.3 Перетворення точки

Розглянемо результати матричного множення матриці [x,y], котра визначає точку P, і матриці перетворення загального вигляду:

(2.1)

Цей математичний запис означає, що початкові координати x, y перетворені в координати:

(2.2)

Розглядаючи , як перетворені координати, розглянемо декілька таких випадків:

1) (2.3)

Перетворення зображення не відбувається.

2)

(2.4)

– масштабування по x.

- масштабування по у.

(2.5)

Рис.1 – Зміна масштабу точки Р

В результаті отримуємо зміну масштабу по x і y. Якщо a ≠ d, то переміщення уздовж осей не однакове (масштабування з перекручуванням).

Якщо – збільшення масштабу

Якщо – зменшення масштабу координат точки P.

₃₎ або/і

(2.6)

Рис.2 – Відображення точки P відносно осі OY

Якщо , , (2.7)

Рис.3 – Відображення точки P відносно осі OX

Якщо одночасно a і d – від’ємні, то відображення проводиться щодо початку координат.

Рис.4 – Відображення точки P відносно початку координат

Зміна масштабу та відображення відбувається завдяки зміні елементів головної діагоналі матриці перетворення.

4)

(2.8)

Координата x точки P не змінюється в той час як лінійно залежать від початкових координат точки P. Дана операція називається здвиг.

(2.9)

(2.10)

5)

(2.11)

Початок координат є інверсним при загальному перетворенні 2х2.