3.2 Відображення

Чисте 2-вимірне обертання в площині xy здійснюється навколо осі перпендикулярної до площини xy, а відображення здійснюється поворотом на 180° навколо осі, що лежить в площині xy. Обертання біля лінії y=x відбувається при використанні матриці . Обертання навколо y=0 виходить при використанні матриці .

3.3 Зміна масштабу

Зміна масштабу визначається значенням двох членів головної діагоналі матриці. Якщо матриця впливає на вершини трикутника, як оператор, то має місце зміна масштабу координати x в a раз, y в d раз.

Якщо a≠d, то має місце спотворення. Таким чином плоска поверхня, що визначається за допомогою вершин, з'єднаних прямими лініями, може бути змінена в різних напрямах. За допомогою відповідних матричних операцій над векторами, положення яких визначають вершину, можна управляти формою і положенням поверхні. Але для отримання бажаної орієнтації, може знадобитися більше одного перетворення, оскільки матричний добуток не комутативний, то порядок перетворень є важливим при використанні комбінованих операцій.

3.4 Комбіновані операції

Розглянемо операції обертання і відображення на прикладі однієї вершини трикутника. Якщо за обертанням на 90° проти годинникової стрілки слідує відображення відносно осі , то цих два перетворення дають:

Поміняємо операції місцями:

Множення матриць не комутативне.

За допомогою матричних перетворень можна виконати операції над кожною точкою в площині. Це перетворення можна інтерпретувати, як перетворення вихідної площині і системи координат в нову форму. Більш детально, можна сказати що перетворення здійснюється перенесенням зображення з однієї площини на іншу.

3.5 Перетворення одиничного квадрата

Розглянемо квадратно решітчасту сітку, що складається з однотипних квадратів в площині xy. Чотири вектора положення точок одиничного квадрата з однією вершиною в початку координат записуються у вигляді:

(3.4)

Рис.7 – Одиничний квадрат з вершиною в початку координат

Перший рядок показує інваріантність точки A. Координати визначаються 1-им рядком матриці перетворення. А точка – другим рядком цієї матриці. Таким чином, якщо координати точок відомі, то загальна матриця перетворення визначена.

Якщо сторона першого квадрата паралельна і наперед відомо, що паралельні лінії перетворюються на паралельні, то перетворена фігура є паралелограмом. Вплив елементів a, b, c, d можна проаналізувати окремо.

Елементи b,c викликають здвиг вихідного квадрата в напрямку y і x відповідно, елементи a,d характеризують масштабні коефіцієнти. Таким чином загальна матриця 2х2 здійснює операцію здвигу і зміни масштабу.

Рис.8 – Перетворення одиничного квадрату

Це дозволяє визначити площу паралелограма:

(3.5)

Можна показати, що площа будь-якого перетвореного паралелограма A_n є функцією матриці перетворень і пов'язана з площею вихідного квадрата простим співвідношенням:

(3.6)

Тоді як площу загальної фігури можна представити як суму одиничних квадратів, то площа будь-якої перетвореної фігури A_t пов'язана з площею фігури A_i:

(3.7)

Це співвідношення справедливо для площ фігур довільних форм.