2.1. Четные функции.Ряды Фурье-Эйлера для четных функций.
Функции
, не меняющие своего значения при
изменении знака аргумента –четные
.
2.1.1. Ряд Фурье-Эйлера четных на основном интервале ( )
фундаметальная система
(1)
-разложение кусочно-непрерывной периодической функции, заданной на основном интервале
(2)
коэффициенты Фурье-Эйлера
(3)
2.1.2. Ряд Фурье-Эйлера четной на основном интервале ( )
фундаметальная система
(4)
-разложение кусочно-непрерывной периодической функции, заданной на основном интервале
(5)
коэффициенты Фурье-Эйлера
(6)
2.2. Нечетные функции.Ряды Фурье-Эйлера для нечетных функций.
Функции , меняющие свои значения на противоположные по знаку при изменении знака аргумента –нечетные .
2.2.1. Ряд Фурье-Эйлера нечетных на основном интервале ( )
фундаметальная система
(7)
-разложение кусочно-непрерывной периодической функции, заданной на основном интервале
(8)
коэффициенты Фурье-Эйлера
(9)
2.2.2. Ряд Фурье-Эйлера нечетной на основном интервале ( )
фундаметальная система
(10)
-разложение кусочно-непрерывной периодической функции, заданной на основном интервале
(11)
коэффициенты Фурье-Эйлера
(12)
2.3. Теоремы об условиях сходимости рядов Фурье-Эйлера.
2.3.1.
Теорема Дирихле (Дирихле-L.P.G.Dirichlet
-1843):Если
функция периодична
с периодом, непрерывна
всюду на кроме быть может, конечного
числа точек разрыва
первого рода, включая граничные точки
,
и сегмент можно разделить на конечное
число подсегментов (подинтервалов), в
каждом из которых функция ограничена
и монотонна,
то на ряд
Ф-Э сходится к его сумме
(13)
в
точках
непрерывности равна
,
а в точках
разрыва
равна полусумме
ее значений слева и справа
(14)
Такая функция называется кусочно-монотонной.
2.3.2. Теорема Дирихле: Если функция периодична с периодом, непрерывна всюду на кроме быть может, конечного числа точек разрыва первого рода, включая граничные точки , в которых
(15)
и сегмент можно разделить на конечное число подсегментов (подинтервалов), в каждом из которых функция непрерывна и имеет непрерывную производную, то на ряд Ф-Э сходится к его сумме
(16)
в точках непрерывности равна равномерно, а в точках разрыва равна полусумме ее значений слева и справа
(17)
Такая функция называется кусочно-гладкой.