2.6.1. Приближение (аппроксимация) функций (гармонический анализ).

Постановка задачи: Найти такой тригонометрический полином для кусочно-непрерывной на заданном интервале функции, который наилучшим способом приближал значения аппроксимируемой функции.

Решение задачи аппроксимации (гармонический анализ) – тригонометрический полином для функции ( ) продолженной периодическим образом на всю числовую ось берется в форме

(29)

где коэффициенты согласно теоремы о наилучшем приближении есть коэффициенты Фурье-Эйлера

(30)

погрешность приближения при этом оценивается по среднеквадратичному

(31)

и по заданному допуску определяется порядок тригонометрического полинома.

2.6.2. Применение рядов Фурье-Эйлера при решении краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений с неоднородной правой чатью-кусочно-непрерывной функцией.

Постановка задачи: найти в классе ( ) раз дифференцируемых непрерывных функций решение краевой задачи для линейного обыкновенного дифференциального уравнения порядка

(32)

Аппроксимируя правую часть уравнения тригонометрическим рядом Фурье-Эйлера на интервале

(33)

с коэффициентами

(34)

преобобразуем исходную задачу для уравнения с разрывной правой частью

в редуцированную задачу для уравнения с непрерывной правой частью

(35)

Разлагая искомое решение на общее решение однородного и частное неоднородного уравнения имеем

(36)

где произвольные постоянные интегрирования определяются из граничных условий, а характеристические числа (показатели) – из соответствующего векового (характеристического уравнения). Здесь приведена формула для частного решения в случае действительных простых (некратных) показателей. Для кратных в указанной формуле следует провести предельный переход, а для комплексно-сопряженных простых (некратных) следует учесть произведения комплексно-сопряженных чисел.

2.7. Примеры.

Задание № 1. Разложить функцию в ряд Фурье-Эйлера на интервале , удерживая первые восемь не нулевых слагаемых

Построить график функции . В точках разрыва указать значения ряда Фурье-Эйлера для этой функции. В рассматриваемом варианте

РЕШЕНИЕ. Период функции . Используя формулы для коэффициентов Ф-Э, имеем

В точках разрыва значения сумм ряда соответственно равны

Задание № 2. С помощью ряда Фурье-Эйлера найти решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка (изгиба однородной балки постоянного поперечного сечения из линейно упругого материала)

где : - прогиб срединной линии балки; - момент инерции прямоугольного сечения балки относительно оси перпендикулятной плоскости изгиба; при граничных (краевых условиях) соответствующих схеме, указанной в таблице № 1. Функция , в правой части уравнения кусочно-непрерывная и ограничена на интервале

Схема краевой задачи приведена на таблице № 2. Вычислить, учитывая первые восемь отличных от нуля члена ряда, значения функции и при . В рассматриваемом варианте ( ), а схема закрепления I (шарнирное закрепление)- равны нулю прогибы и изгибающие моменты конечных точек.

РЕШЕНИЕ. Представляя кусочно-непрерывную правую часть уравнения (нагрузку) непрерывной с помощью разложения Фурье-Эйлера по синусам

после интегрирования получим

После подстановки в краевые условия получаем

и значение прогиба в середине пролета будет

Литература.

1. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П., Краткий курс высшей математики. -М.: Наука, 1986 . -576 с.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М.. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. –М.: Наука, 1989. –464 с.

3. Ильин В.А., Позняк Э.Г..Основы математического анализа –М.: Наука, 1967. – 571 с.

4. Овчинников П.Ф., Лисицын Б.М., Михайленко В.М.. Высшая математика. –К.: Выща шк., 1989. –679 с.

5. Долгов Н.М.. Высшая математика. –К.: Выща шк., 1988. – 416 с.

6. Романовский П.И.. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа. –М.: Наука, Физматгиз. 1973.- 336 с.

7. Будак Б.М., Фомин С.В.. Кратные интегралы и ряды. –М.: Наука, Физматгиз. 1967. – 607 с.

8. Лопаницын Е.А.. Ряды Фурье. (Методические указания). –М.: МАМИ, 1988.-37с.

9. Коган Е.А., Попович В.Е.. Ряды Фурье. Дифференциальные уравнения в частных производных. Теория вероятностей. Ч.2.(Методическое пособие № 1393 (1155)).-М.: МАМИ. 1988. –99с.

10. Коган Е.А., Лопаницын Е.А.. Ряды Фурье. Уравнения математической физики.

(Методическое пособие ).-М.: МАМИ. 2004. –89с.

11. Сборник задач по математике для втузов. Ч.1-2. /Болгов В.А., Ефимов А.В., Каракулин А.Ф., Коган С.М., Лунц Г.Л., Поспелов А.С., Фролов С.В., Шостак Р.Я., Янполский А.Р..-М.: Наука, Физматгиз, 1986. –426 с.,– 368с.

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА по разделу РЯДЫ ФУРЬЕ-ЭЙЛЕРА

Задание № 1. Разложить функцию в ряд Фурье-Эйлера на интервале

Значения и выражения приведены в таблице № 1.1. Построить график функции . В точках разрыва указать значения суммы ряда Фурье-Эйлера для этой функции.

Задание № 2. С помощью ряда Фурье найти решение краевой задачи, формулировка которой приведена в таблице № 1.2. Функция в правой части уравнения кусочно непрерывная м ограниченная на интервале . Схему краевой задачи и выражения функций взять из таблицы № 1.3. Вычислить три отличных от нуля члена ряда, значения функции в величинах и в величинах при : и – константы

Рапределение составляющих нагрузки по длине балки

Таблица № 1.2. Краевые условия для различных схем (номеров I,II и III)

Таблица № 1.1. Значения составляющих функции

Таблица № 1.3. Схемы (номера I,II и III), составляющие нагрузки .

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к выполнению РГР по разделу «Элементы функционального анализа, обобщенные ряды Фурье и тригонометрические ряды Фурье – Эйлера», курса «Специальные главы высшей математики».

(4-ый семестр, 2-ой курс, поток АЭ 8-13, 2006 г.)

Задача № 1. Разложить заданную на отрезке функцию

в ряд Фурье - Эйлера; построить график заданной функции на отрезке и продлить ее периодическим образом; определить выражения коэффициентов Фурье – Эйлера и вычислить первые ( восемь) коэффициентов Фурье – Эйлера; построить график частичной суммы полученного ряда Фурье - Эйлера на отрезке ; в точках разрыва указать значения частичной суммы .

Порядок выполнения:

1). Построить декартову систему координат с масштабами по осям; на основном периоде изобразить заданную кусочно – непрерывную функцию .

2). Продлить влево и вправо периодическим образом заданную на основном периоде функцию.

3). Записать ряд Фурье – Эйлера для периодической функции, заданной на основном интервале

4). Записать выражения коэффициентов ряда Фурье – Эйлера для заданной кусочно – непрерывной функции в виде суммы интегралов по участкам

5). Используя значения функции на участках, проинтегрировать выражения коэффициентов Фурье – Эйлера, и подставить соответствующие пределы на участках; при вычислениях использовать значения тригонометрических функций: и табличные интегралы

6). Вычислить первые восемь значений коэффициентов Фурье – Эйлера для и построить график изменения этих коэффициентов с увеличением их номера определить порядок убывания абсолютного значения коэффициентов.

7). Записать выражение частичной суммы ряда Фурье – Эйлера и построить график этой суммы

8). Вычислить значения частичной суммы ряда в точках сопряжения участков; определить значения в точках разрыва.

9). Все вычисления и графические построения могут быть произведены на РЭВМ с использованием каких – либо вычислительных систем, например, системы MATHCAD.

Пример:

Задана на интервале кусочно – непрерывная функция

при .

Выражения для коэффициентов Фурье – Эйлера имеют вид

значения тригонометрических функций для указанных аргументов такие

Выражения коэффициентов Фурье – Эйлера

В системе MATHCAD реализация задания этого примера выглядит так, как приведено в приложении №1.

Задача № 2. Найти решение в виде ряда Фурье – Эйлера для краевой задачи

для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентам и неоднородной правой частью – кусочно – непрерывной на отрезке - полупериоде функцией

представимой неполным рядом Фурье – Эйлера (нечетным образом) на основном периоде ; построить график заданной функции на отрезке и продлить ее периодическим образом; определить выражения коэффициентов Фурье – Эйлера и вычислить первые ( восемь) коэффициентов Фурье – Эйлера; построить график частичной суммы полученного ряда Фурье - Эйлера на отрезке ; в точках разрыва указать значения частичной суммы ; определить значение частичной суммы в середине полупериода .

Порядок выполнения:

1). Построить декартову систему координат с масштабами по осям; на основном полупериоде изобразить заданную кусочно – непрерывную функцию и продлить ее на вторую часть основного периода нечетным образом .

2). Продлить влево и вправо периодическим образом заданную на основном периоде функцию.

3). Записать неполный ряд Фурье – Эйлера (по синусам) для периодической функции, заданной на основном интервале - аппроксимировать кусочно – непрерывную функцию непрерывной

4). Записать выражения коэффициентов ряда Фурье – Эйлера для заданной кусочно – непрерывной функции в виде суммы интегралов по участкам

5). Используя значения функции на участках, проинтегрировать выражения коэффициентов Фурье – Эйлера, и подставить соответствующие пределы на участках; при вычислениях использовать значения тригонометрических функций: и табличные интегралы

6). Вычислить первые восемь значений коэффициентов Фурье – Эйлера для и построить график изменения этих коэффициентов с увеличением их номера определить порядок убывания абсолютного значения коэффициентов.

7). Записать выражение частичной суммы ряда Фурье – Эйлера и построить график этой суммы

8). Вычислить значения частичной суммы ряда в точках сопряжения участков; определить значения в точках разрыва.

9). Проинтегрировать неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка

с правой частью – непрерывной функцией

10). Определить постоянные интегрирования по заданным краевым условиям (первого, второго или третьего рода)

11). Записать окончательно выражение искомой функции, ограничиваясь в представлении правой части уравнения вместо ряд его частичной суммой

12). Вычислить значение искомой функции (для частичной суммы) в середине полупериода

13). Все вычисления и графические построения могут быть произведены на РЭВМ с использованием каких – либо вычислительных систем, например, системы MATHCAD.

Пример:

Для краевой задачи

функция задана на полупериоде - интервале кусочно – непрерывно

при .

Выражения для коэффициентов Фурье – Эйлера имеют вид

значения тригонометрических функций для указанных аргументов такие

Выражения коэффициентов Фурье – Эйлера

и представление правой части есть

и соответственно интеграл – искомая функция

Удовлетворяя краевым условиям, получаем постоянные интегрирования

и окончательно искомую функцию

значение которой в середине полупериода равно

В системе MATHCAD реализация задания этого примера выглядит так, как приведено в приложении №2.

Задача № 3. Разложить функцию на отрезке в ообощенный ряд Фурье по системе ортогональных (ортонормированных) на этом отрезке функций

Порядок выполнения:

1). Представить на заданном интервале искомую функцию в виде обобщенного ряда Фурье по системе ортогональных (ортонормированных) на этом интервале функций

с коэффициентами обобщенного ряда Фурье . Вычислить значения коэффициентов обобщенного ряда Фурье для .

2). Записать выражение обощенного ряда Фурье и частичную сумму

3). Построить график заданной функции и частичной суммы на заданном интервале.

4). Установит характер зависимости абсолютной величины коэффициентов Фурье от номера разложения .

Пример:

Задана на интервале функция ; разложить на указанном интервале по ортогональной системе на этом интервале функций .

Убеждаемся в свойстве ортогональности системы функций

Построим ортонормированную фундаментальную систему функций, для чего исходную систему ортогональных функций нормируем так

Вычислим коэффициенты обобщенного ряда Фурье

Запишем обобщенный ряд Фурье – Эйлера для заданной функции

и частичную сумму обобщенного ряда Фурье – Эйлера

Построим график заданной функции и соответствующей ей частичной суммы обобщенного ряда Фурье – Эйлера (для числа слагаемых ) и зависимости коэффициентов обобщенного ряда от номера разложения (см. Приложение № 3, выполненного в системе MATHCAD).

Министерство образования и науки Российской Федерации

Московский государственный технический университет «МАМИ»

Кафедра «Прикладная и вычислительная математика»

Расчетно –графическая работа по разделу

«Элементы функционального анализа, обобщенные ряды Фурье и тригонометрические ряды Фурье - Эйлера».

Вариант №

Факультет

Группа

Студент (Ф.И.О.)

Лектор (Ф.И.О. должн.)

Преподаватель (Ф.И.О. должн.)

Москва 2007 год

ПРОГРАММА

Лекций по разделу

«ЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА, РЯДЫ И ОБОБЩЕННЫЕ РЯДЫ ФУРЬЕ-ЭЙЛЕРА»

курса

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ.

( IV семестр, II курс, поток АЭ 8-13,2007г)

Л екция 1. Основные понятия и определения.

1.Последовательности числовые и функциональные: ограниченная сверху (или снизу), ограниченная; бесконечно малая (большая); монотонная; сходящаяся; предел последовательности; предельная функция, Равномерная сходимость.

1.2. Ряды числовые и функциональные. Сходимости: равномерная, в среднем, в среднеквадратичном на заданном интервале. Ряд, частичная сумма ряда; сумма ряда; остаток ряда; равномерно сходяшийся функциональный ряд.

1.2.1. Свойства сходящихся рядов: перестановки мест слагаемых; сочетания элементов; распределительное свойство; сумма ряда; интеграл от суммы; производная от суммы.

1.2.2. Признаки сходимости рядов: сравнения, мажорирования, оценки остаточных сумм.

1.2.3. Критерии сходимости функциональных рядов: в среднем, в среднеквадратичном.

1.3. Функциональные ряды. Фундаментальная система функций. Коэффициенты разложения.

1.3.1. Степенные ряды.

1.3.2 Обобщенные ряды Фурье; ортогональная фундаментальна система функций, ортонормированная фундаментальная система функций.

2. Тригонометрические ряды Фурье - Эйлера.

2.1. Ряд Фурье - Эйлера на основном интервале ( ).

2.2. Ряд Фурье-Эйлера на основном интервале ( ).

2.3. Ряд Фурье-Эйлера на основном интервале ( ).

Лекция 2. Ряды Фурье-Эйлера для четных и нечетных функций на основных интервалах. Сходимость рядов Фурье-Эйлера. Приложение рядов Фурье-Эйлера.

2.1. Четные функции.Ряды Фурье-Эйлера для четных функций.

2.1.1. Ряд Фурье-Эйлера четных на основном интервале ( ).

2.1.2. Ряд Фурье-Эйлера четной на основном интервале ( ).

2.2. Нечетные функции.Ряды Фурье-Эйлера для нечетных функций.

2.2.1. Ряд Фурье-Эйлера нечетных на основном интервале ( ).

2.2.2. Ряд Фурье-Эйлера нечетной на основном интервале ( ).

2.3. Теоремы об условиях сходимости рядов Фурье-Эйлера.

2.3.1. Теорема

2.3.2. Теорема Дирихле

2.4. Теоремы об условиях дифференцируемости рядов Фурье-Эйлера.

5. Частичная сумма ряда Фурье-Эйлера, невязка (расхождение, уклонение). Неравенства Бесселя и равенство Парсеваля –Ляпунова.

2.5.1. Частичная сумма рядов Фурье-Эйлера

2.5.2. Характер зависимости коэффициентов Фурье-Эйлера от номера.

2.5.3. Неравенство Бесселя.

2.5.4. Равенство Ляпунова.

2.5.6. Полнота фундаментальной системы функций в смысле средне квадратичного.

2.5.7. Эффект Гиббса (неустранимая погрешность в окрестности точек разрыва).

2.6. Приложение рядов Фурье-Эйлера.

2.6.1. Приближение (аппроксимация) функций (гармонический анализ).

2.6.2. Применение рядов Фурье-Эйлера при решении краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений с неоднородной правой частью –кусочно - непрерывной функцией.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ.

1). Последовательности числовые и функциональные: сходящаяся; предел последовательности; предельная функция, равномерная сходимость.

2). Ряды числовые и функциональные. Сходимости: равномерная, в среднем, в среднеквадратичном.

3). Функциональные ряды: фундаментальная система функций, коэффициенты разложения.

4). Степенные ряды Тейлора – Маклорена..

5). Обобщенные ряды Фурье; ортогональная и ортонормированная фундаментальна система функций; коэффициенты обобщенного ряда Фурье..

6). Тригонометрические ряды Фурье – Эйлера; ортогональная и ортонормированная фундаментальна система функций на отрезке ; коэффициенты ряда.

7). Тригонометрические ряды Фурье – Эйлера; ортогональная и ортонормированная фундаментальна система функций на отрезке ; коэффициенты ряда.

8). Тригонометрические ряды Фурье – Эйлера; ортогональная и ортонормированная фундаментальна система функций на отрезке ; коэффициенты ряда.

9). Тригонометрический ряд Фурье-Эйлера для четных на основном интервале ( ).

ряда.

10). Тригонометрический ряд Фурье-Эйлера для четной на основном интервале ( ).

11). Тригонометрический ряд Фурье-Эйлера для Ряд Фурье-Эйлера нечетных на основном интервале ( ).

12). Тригонометрический ряд Фурье-Эйлера для нечетной на основном интервале ( ).

13). Теоремы Дирихле о сходимости рядов Фурье-Эйлера.

14). Дифференцируемость рядов Фурье-Эйлера.

15). Неравенства Бесселя и равенство Парсеваля –Ляпунова.

16). Характер зависимости коэффициентов Фурье-Эйлера от номера разложения.

17). Полнота фундаментальной системы функций.

18). Эффект Гиббса.

19). Приложение рядов Фурье-Эйлера: приближение (аппроксимация) функций (гармонический анализ).

20). Применение рядов Фурье-Эйлера при решении краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений с неоднородной правой частью –кусочно - непрерывной функцией.

29